Probabilités discrètes

Loi binomiale

Soit $E$ une épreuve de Bernoulli et $p$ la probabilité du succès.

On répète $n$ fois, de manière indépendante, l'épreuve $E$ et on note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de succès (compris entre 0 et $n$).

On dit que $X$ suit une loi binomiale de paramètres $n$ et $p$ (notée $B(n ; p)$). 

Pour tout $k \in [0 ; n]$, on a :

$$\begin{array}{ll}P(X = k) = (_{k}^{n}){p}^{k}{q}^{n - k}\\ E(X) = np\\ V(X) = npq\text{ où }q = 1 - p\\ \displaystyle\sigma(X) = \sqrt{n p q}\end{array}$$

Loi de Poisson

Pour Y une variable aléatoire qui suit une loi de Poisson de paramètre $\lambda$ > 0, on a :

$P(Y = k) = \frac{{\lambda}^k}{k !} e^{-\lambda}$ pour tout $k$ entier naturel.

L'espérance de cette variable aléatoire $Y$ est $E(Y) = \lambda$, sa variance $V(Y) = \lambda$ et son écart-type $\sigma = \sqrt{\lambda}$.