Pour tout ce qui suit, on munit l'espace d’un repère orthonormé ($\mathrm{O}$ ; $\vec{i}$ ; $\vec{j}$ ; $\vec{k}$).
Définition
Soit $\vec{u}(x ; y ; z)$ et $\vec{v}(x’ ; y’ ; z’)$ deux vecteurs de l’espace.
Le produit vectoriel de $\vec{u}$ et de $\vec{v}$, noté $\vec{u} \wedge \vec{v}$ est le vecteur défini par :
- Si $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires : $\vec{u} \wedge \vec{v} = \vec{0}$ ;
- Si $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ne sont pas colinéaires :
- $\vec{u} \wedge \vec{v}$ est orthogonal aux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ; (direction)
- ($\vec{u}$ ; $\vec{v}$ ; $\vec{u} \wedge \vec{v}$) est une base directe ; (sens)
- $\| \vec{u} \wedge \vec{v} \|$ = $\| \vec{u} \|$ $\| \vec{v} \|$ sin($\vec{u}$ ; $\vec{v}$). (longueur)
Remarque :
Si le repère orthonormal ($\mathrm{O}$ ; $\vec{i}$ ; $\vec{j}$ ; $\vec{k}$) est direct, les coordonnées du vecteur $\vec{u} \wedge \vec{v}$ sont :
$\vec{u} \wedge \vec{v} (yz’ - zy’ ; x’z - xz’ ; xy’ - yx’)$.
Propriétés
Pour $\vec{u}$, $\vec{v}$ et $\vec{w}$ trois vecteurs de l’espace et $\alpha$ un nombre réel :
- $\vec{v} \wedge \vec{u} = -\vec{u} \wedge \vec{v}$ ;
- $(\alpha \vec{u}) \wedge \vec{v} = \alpha (\vec{u} \wedge \vec{v}) = \vec{u} \wedge (\alpha \vec{v})$ ;
- $\vec{u} \wedge (\vec{v} + \vec{w}) = \vec{u} \wedge \vec{v} + \vec{u} \wedge \vec{w}$ et $(\vec{u} + \vec{v}) \wedge \vec{w} = \vec{u} \wedge \vec{w} + \vec{v} \wedge \vec{w}$.
