1) Un système linéaire
$3 \times 3$ est un système d'équations du type :
$\left\{
\begin{array}{lll}
a_{1,1}x +a_{1,2}y+a_{1,3}z & = & b_1\\
a_{2,1}x +a_{2,2}y+a_{2,3}z & = & b_2\\
a_{3,1}x +a_{3,2}y+a_{3,3}z & = & b_3\\
\end{array}
\right.$.
Les coefficients du système sont les $a_{i,j}$. Les inconnues sont $x$, $y$ et $z$. $b_1,b_2,b_3$ s'appelle le second membre.
Le coefficient $a_{i,j}$ est situé à la ligne numéro $i$ et la colonne numéro $j$.
Pour résoudre le système c'est-à-dire trouver les valeurs de $x$, $y$ et $z$, on effectue des opérations sur les lignes du système en utilisant un algorithme qui s'appelle la méthode du pivot de Gauss.
Pour simplifier, on préfère travailler avec la matrice des coefficients et le second membre :
$\left(
\begin{array}{ccc|c}
a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3} & b_1\\
a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3} & b_2\\
a_{3,1} & a_{3,2} & a_{3,3} & b_3\\
\end{array}
\right)$.
On sépare les coefficients du second membre par une barre verticale. On se rappellera que la première colonne concerne l'inconnue $x$, la deuxième l'inconnue $y$ et la troisième l'inconnue $z$.
2) Exemple :
$\left\{
\begin{array}{lll}
x + y + z & = & 6 \\
-x + 3y + 7z & = & -10\\
x + 3y + 4z & = & 6\\
\end{array}
\right.$
La matrice associée à ce système est :
$\left(
\begin{array}{ccc|c}
1 & 1 & 1 & 6\\
-1 & 3 & 7 & -10\\
1 & 3 & 4 & 6\\
\end{array}
\right)$.
3) Méthode du pivot de Gauss.
Décrivons la méthode du pivot de Gauss sur l'exemple précédent.
Les opérations utilisées pour cette méthode sont au nombre de $3$ :
- On peut additionner à une ligne une autre ligne ou même une autre ligne multipliée par un nombre
- On peut échanger deux lignes
- On peut multiplier une ligne par un nombre non nul
Ne jamais faire des opérations sur les colonnes.
a) $\mathrm{1^{ère}}$ étape.
On va mettre des zéros en dessous du coefficient $a_{1,1} = 1$. On obtient une nouvelle matrice mais le système correspondant à cette nouvelle matrice est équivalent au système initial c'est-à-dire qu'il a les mêmes solutions.
Pour mettre ces zéros on fait les opérations :
$L_2 \leftarrow L_2+L_1$ et $L_3 \leftarrow L_3-L_1$. On obtient
$\left(
\begin{array}{ccc|c}
1 & 1 & 1 & 6\\
0 & 4 & 8 & -4\\
0 & 2 & 3 & 0\\
\end{array}
\right)$.
b) $\mathrm{2^{ème}}$ étape.
On met des zéros en dessous du coefficients $a'_{2,2}=4$.
Pour cela on fait les opérations $L_3 \leftarrow 2L_3-L_2$. On obtient :
$\left(
\begin{array}{ccc|c}
1 & 1 & 1 & 6\\
0 & 4 & 8 & -4\\
0 & 0 & -2 & 4\\
\end{array}
\right)$.
Pour simplifier on peut diviser la ligne $2$ par $4$ et la ligne $3$ par $2$ :
$\left(
\begin{array}{ccc|c}
1 & 1 & 1 & 6\\
0 & 1 & 2 & -1\\
0 & 0 & -1 & 2\\
\end{array}
\right)$.
On revient au système avec les inconnues :
$\left\{
\begin{array}{lll}
x + y + z & = & 6 \\
y +2z & = & -1\\
-z & = & 2\\
\end{array}
\right.$
On obtient ce qui s'appelle un système triangulaire facile à résoudre en commençant par le dernière équation puis en remontant :
$z=-2$ puis $y = -2z-1 = 4-1=3$ et $x = 6-y-z = 6-3+2 = 5$.
On a donc $S = \{(5,3,-2)\}$.
On peut vérifier qu'en remplaçant $x$, $y$ et $z$ respectivement par $5,3,-2$ dans le système initial, cela convient.
3) Autre exemple :
$\left\{
\begin{array}{lll}
2x - y + z & = & 1 \\
x + y + z & = & 1\\
5x - y + 3z & = & 3\\
\end{array}
\right.$
La matrice associée à ce système est
$\left(
\begin{array}{ccc|c}
2 & -1 & 1 & 1\\
1 & 1 & 1 & 1\\
5 & -1 & 3 & 3\\
\end{array}
\right)$.
On met des zéros en dessous de $a_{1,1}=2$.
On effectue les opérations :
$L_2 \leftarrow 2L_2-L_1$ et $L_3 \leftarrow 2L_3-5L_1$.
(N.B : il faut éviter de travailler avec des fractions)
On obtient :
$\left(
\begin{array}{ccc|c}
2 & -1 & 1 & 1\\
0 & 3 & 1 & 1\\
0 & 3 & 1 & 1\\
\end{array}
\right)$.
On met un zéro en dessous de $a'_{2,2}=3$ en faisant $L_3 \leftarrow L_3-L_2$ :
$\left(
\begin{array}{ccc|c}
2 & -1 & 1 & 1\\
0 & 3 & 1 & 1\\
0 & 0 & 0 & 0\\
\end{array}
\right)$.
C'est terminé. On revient aux inconnues :
$\left\{
\begin{array}{lll}
2x - y + z & = & 1 \\
3y + z & = & 1\\
0 & = & 0\\
\end{array}
\right.$
La dernière équation est toujours vérifiée ! On se rend compte qu'il y a plus d'inconnues que d'équations . Cela signifie qu'on aura une infinité de solutions. Les solutions vont dépendre d'un paramètre. On peut par exemple exprimer les inconnues en fonctions du paramètre $z$ :
$3y = 1-z$ d'après la $\mathrm{2^{ème}}$ équation donc $\displaystyle{y = \frac{1}{3} - \frac{1}{3}z}$.
D'après la $\mathrm{1^{ère}}$ équation, $\displaystyle{2x = 1+y-z = 1+ \frac{1}{3} - \frac{1}{3}z - z = \frac{4}{3} - \frac{4}{3}z}$ donc :
$\displaystyle{x = \frac{2}{3} - \frac{2}{3}z}$.
L'ensemble des solutions est :
$\displaystyle{S= \left\{\left(\frac{2}{3} - \frac{2}{3}z,\frac{1}{3} - \frac{1}{3}z,z\right) \mid z \in {\Bbb R}\right\}}$.
Remarque :
$z$ est quelconque; c'est la raison pour laquelle il y a une infinité de solution.
Si on veut éviter les fractions, on aurait pu exprimer les inconnues en fonction de $y$ plutôt que $z$. Alors $z=1-3y$ puis $2x=1+y-z = 4y$ donc $x=2y$. On obtient exactement le même ensemble de solutions mais décrit différemment :
$\displaystyle{S= \left\{\left(2y,y,1-3y\right) \mid y \in {\Bbb R}\right\}}$.
Théorème : un système linéaire a soit aucune solution, une unique solution ou une infinité de solutions.
