Mathématiques et statistiques appliquées 1

A.    Les indices
L’indice élémentaire de la variable $V$, à la date $a$ de base 1 à la date $d$ est : $\displaystyle I_{a/d} = \frac{v_a}{v_d}$, à la date a de base 100 à la date $d$ est : $\displaystyle I_{a/d} = 100 \times i_{a/d} = 100 \times \frac{v_a}{v_d}$.
L’indice en base 1 peut aussi être défini à partir du taux de variation t par : $i = 1+ t$ donc $t = i -1$.

B.    Taux de variation moyen 
Calcul de l’indice base 1. Puis, pour avoir l’indice moyen alors on compte le nombre d’années entre les 2 périodes : A(arrivée)- A(départ) puis on prend la racine. Pour avoir le taux moyen, on soustrait 1 à l’indice moyen. $Tm= im – 1$ (avec $Tm=$ taux moyen et $im=$ indice moyen).

A. Intérêts simples

Formule générale : $I = V \times i \times n$
Avec $V$ la valeur d’un capital à une date donnée, placé pendant une durée (n) (en années) à un taux d’intérêt annuel $i$.
Pour obtenir valeur finale du capitale $V_f= V_0 + I$

B. Intérêts composés
Formule $V_f= V_0 \times (1+i)^n$
    $V_0$ : valeur initiale du capitale place et Vf sa valeur acquise après n périodes.
    $n$ : durée du placement, nombre de périodes
    $i$ : taux d’intérêt

C. Annuités
Pour $n$ versements d’un montant $a$, la valeur actuelle de la dette initiale contractée est :
Formule : $\displaystyle V_o = a \times \frac{1-(1+i)^{-n}}{i}$
Pour $n$ versements d’un montant $a$ et $i$ le taux d’intérêt, la valeur finale est :
Formule $\displaystyle V_f = a \times \frac{(1+i)^n-1}{i}$

A.    Indicateurs de position de tendance centrale : moyenne et médiane

• Moyenne : on divise la somme des valeurs par le nombre de valeurs
• Médiane : modalité du caractère qui partage l’effectif total de la distribution en deux parties égales (valeurs rangées par ordre croissant). 

B.    Indicateurs de position de partage de série :
Les quartiles partagent la série en 4 sous-ensembles égaux. Les déciles partagent la série en 10 sous-ensembles égaux. Les centiles partagent la série en 100 sous-ensembles égaux.

C.    Indicateur de dispersion des écarts à la moyenne :

• La variance est un indicateur qui mesure la dispersion des valeurs autour de la moyenne. Elle est définie de la manière suivante : $\displaystyle \sigma^2 = Var = \frac{1}{n} \sum^n_{i=1} (X_i - \overline X)^2$$ \displaystyle = \left(\frac{1}{n} \sum^n_{i = 1} X^2_i \right) - \overline X^2$
  
  
• L’écart type $\sigma$ est défini comme la racine carrée de la variance $(\sigma = \sqrt{Var})$. 

D.    Indicateur de dispersion des écarts entre observation

• Etendue : Étendue = $x_{max}- x_{min}$
• Ecart interquartile/ décile/ centile : Permet de mesure les écarts entre le haut et le bas de la distribution. Ex : écart interquartile : Q3-Q1.
• Rapport interquartile/ décile/ centile. Ex : rapport interdécile : D9/D1. Alors que l’ écart interdécile mesure les inégalités absolues, le rapport interdécile mesure les inégalités relatives.
• Coefficient de variation : $\displaystyle CV = \frac{\sigma}{m}$ (écart type/ moyenne). C’est un indice utile pour comparer 2 séries qui n’ont pas la même échelle de valeurs.