Lois de probabilités discrètes

Lois de probabilités discrètes :

Variables discrètes :

Une variable $X$ est discrète si on peut faire une liste, finie ou infinie, de ses valeurs possibles $x_1 ;x_2 ;…$ de probabilités respectives $P(X=x_k)=p_k$. On a la propriété suivante : $\displaystyle \sum_k p_k=1$.

Espérance ou moyenne de $X$ : $E(X)=m=\displaystyle\sum_k (p_k\times x_k).$

Variance de $X$ : C’est le nombre positif :
$V(X)=\displaystyle \sum_k (x_k-m)^2\times p_k=E(X^2)-(E(X))^2$= Moyenne des carrés moins carré de la moyenne.

Ecart-type de $X$ : C’est le nombre positif $\sigma=\sqrt{V(X)}$.

Loi de Bernoulli :
Une épreuve de Bernoulli est une épreuve aléatoire dont l’univers associé peut être résumé à deux choix que l’on nommera « succès » et « échec » de probabilités respectives $p$ et $q=1-p$.

La variable aléatoire $X$ suit une loi de Bernoulli de paramètre $p$ (avec $p\in ]0 ;1[$) si :
$P(X=0)=1-p$ et $P(X=1)=p$
On note $X\sim \mathcal{B}(p)$.
$E(X)=p$ et $V(X)=p(1-p)$.

Loi binomiale :
On obtient une distribution binomiale lorsque l’on répète des épreuves de Bernoulli identiques $n$ fois avec des résultats indépendants les uns des autres.
La variable aléatoire $X$, comptant le nombre de succès, suit une loi binomiale de paramètres $n$ et $p$ (avec $n\in\mathbb N^*$ et $p\in ]0 ;1[$) si :
Pour tout $k\in [|0,n|]$, $P(X=k)=\Big(\begin{array}{ll}n\\k \end{array}\Big) p^k(1-p)^{n-k}=C_n^kp^k(1-p)^{n-k}$.
On note $X\sim \mathcal{B}(n,p)$.
$E(X)=np$ et $V(X)=np(1-p)=npq$.

Loi de Poisson :
La variable aléatoire $X$ suit une loi de Poisson de paramètres $\lambda$ ($\lambda>0$) si pour tout $k\in\mathbb N$, $P(X=k)=\exp(-\lambda)\frac{\lambda^k}{k !}$.
On note $X\sim \mathcal{P}(\lambda)$.
$E(X)=\lambda$ et $V(X)=\lambda$.

On utilise en général la loi de Poisson lorsque les évènements ont une probabilité faible de se produire (maladies rares, …).

La loi de Poisson correspond à la limite d’une loi binomiale lorsque $n\to +\infty$ et $p\to 0$. En pratique si $n\geq 30$, $p\leq 0,1$ et $np\leq 15$, la loi binomiale est approchée par une loi de Poisson de paramètre $\lambda=np$.