Lois de probabilités discrètes :

Variables discrètes :

Une variable X est discrète si on peut faire une liste, finie ou infinie, de ses valeurs possibles x1;x2; de probabilités respectives P(X=xk)=pk. On a la propriété suivante : kpk=1.

Espérance ou moyenne de X : E(X)=m=k(pk×xk).

Variance de X : C’est le nombre positif :
V(X)=k(xkm)2×pk=E(X2)(E(X))2= Moyenne des carrés moins carré de la moyenne.

Ecart-type de X : C’est le nombre positif σ=V(X).

Loi de Bernoulli :
Une épreuve de Bernoulli est une épreuve aléatoire dont l’univers associé peut être résumé à deux choix que l’on nommera « succès » et « échec » de probabilités respectives p et q=1p.

La variable aléatoire X suit une loi de Bernoulli de paramètre p (avec p]0;1[) si :
P(X=0)=1p et P(X=1)=p
On note XB(p).
E(X)=p et V(X)=p(1p).

Loi binomiale :
On obtient une distribution binomiale lorsque l’on répète des épreuves de Bernoulli identiques n fois avec des résultats indépendants les uns des autres.
La variable aléatoire X, comptant le nombre de succès, suit une loi binomiale de paramètres n et p (avec nN et p]0;1[) si :
Pour tout k[|0,n|], P(X=k)=(nk)pk(1p)nk=Cknpk(1p)nk.
On note XB(n,p).
E(X)=np et V(X)=np(1p)=npq.

Loi de Poisson :
La variable aléatoire X suit une loi de Poisson de paramètres λ (λ>0) si pour tout kN, P(X=k)=exp(λ)λkk!.
On note XP(λ).
E(X)=λ et V(X)=λ.

On utilise en général la loi de Poisson lorsque les évènements ont une probabilité faible de se produire (maladies rares, …).

La loi de Poisson correspond à la limite d’une loi binomiale lorsque n+ et p0. En pratique si n30, p0,1 et np15, la loi binomiale est approchée par une loi de Poisson de paramètre λ=np.