Lois de probabilités discrètes :
Variables discrètes :
Une variable X est discrète si on peut faire une liste, finie ou infinie, de ses valeurs possibles x1;x2;… de probabilités respectives P(X=xk)=pk. On a la propriété suivante : ∑kpk=1.
Espérance ou moyenne de X : E(X)=m=∑k(pk×xk).
Variance de X : C’est le nombre positif :
V(X)=∑k(xk−m)2×pk=E(X2)−(E(X))2= Moyenne des carrés moins carré de la moyenne.
Ecart-type de X : C’est le nombre positif σ=√V(X).
Loi de Bernoulli :
Une épreuve de Bernoulli est une épreuve aléatoire dont l’univers associé peut être résumé à deux choix que l’on nommera « succès » et « échec » de probabilités respectives p et q=1−p.
La variable aléatoire X suit une loi de Bernoulli de paramètre p (avec p∈]0;1[) si :
P(X=0)=1−p et P(X=1)=p
On note X∼B(p).
E(X)=p et V(X)=p(1−p).
Loi binomiale :
On obtient une distribution binomiale lorsque l’on répète des épreuves de Bernoulli identiques n fois avec des résultats indépendants les uns des autres.
La variable aléatoire X, comptant le nombre de succès, suit une loi binomiale de paramètres n et p (avec n∈N∗ et p∈]0;1[) si :
Pour tout k∈[|0,n|], P(X=k)=(nk)pk(1−p)n−k=Cknpk(1−p)n−k.
On note X∼B(n,p).
E(X)=np et V(X)=np(1−p)=npq.
Loi de Poisson :
La variable aléatoire X suit une loi de Poisson de paramètres λ (λ>0) si pour tout k∈N, P(X=k)=exp(−λ)λkk!.
On note X∼P(λ).
E(X)=λ et V(X)=λ.
On utilise en général la loi de Poisson lorsque les évènements ont une probabilité faible de se produire (maladies rares, …).
La loi de Poisson correspond à la limite d’une loi binomiale lorsque n→+∞ et p→0. En pratique si n≥30, p≤0,1 et np≤15, la loi binomiale est approchée par une loi de Poisson de paramètre λ=np.