Comparaisons

Pour comparer deux nombres positifs en écriture décimale, on compare successivement les décimales de même rang.

 Exemples : $\bf 3,4=3,40$ ; $\bf 7\neq 9,5$ si deux nombres sont différents, on peut chercher le plus grand (ou le plus petit) des deux.

Nombres ayant la même partie entière

Pour comparer deux nombres qui ont la même partie entière, on compare les chiffres de la partie décimale, de la gauche vers la droite.

Comparaisons de plusieurs nombres décimaux

Ranger des nombres décimaux dans l'ordre croissant, c'est les ranger du plus petit au plus grand.

Ranger des nombres décimaux dans l'ordre décroissant, c'est les ranger du plus grand au plus petit.

Pour comparer deux nombres positifs en écriture fractionnaire, il faut d'abord les réduire au même dénominateur, puis les ranger dans l'ordre de leur numérateur.

Comparaisons de plusieurs nombres relatifs

Comparer deux nombres relatifs revient à étudier le signe de leur différence :

  • dire que $a - b < 0$ revient à dire que $a < b$.
  • dire que $a - b > 0$ revient à dire que $a > b$.

Toutes les propriétés de comparaison vont nous aider pour établir celles d'encadrement.

Définition

Encadrer un nombre signifie écrire ce nombre entre deux valeurs ; l'une est inférieure à ce nombre, l'autre est supérieure. Encadrer un nombre $x$, c'est trouver deux nombres $a$ et $b$ tels que $a < x < b$.

Propriétés

Soient $a$, $a'$, $b$, $b'$, $x$, $x'$ des nombres réels.

  • Pour encadrer une somme de deux réels, on additionnera les bornes de leur encadrement :
    Si $a < x < b$ et $a' < x' < b'$, alors $a + a' < x + x' < b + b'$.
  • Pour encadrer une différence de deux réels, on ramènera le problème au cas de l'addition :
    Si $a < x < b$ et $a' < x' < b'$, alors $-b' < -x' < -a'$ (on a multiplié par $(-1)$ la seconde inégalité en changeant les signes), et donc $a - b' < x - x' < b - a'$.
  • Pour encadrer un produit de réels, on multipliera les bornes de l'encadrement si et seulement si les nombres sont positifs :
    Si $0 < a < x < b$ et $0 < a' < x' < b'$, alors $0 < aa' < xx' < bb'$
    Pour encadrer l'inverse d'un réel, on inversera les bornes de l'encadrement si et seulement si les bornes sont de même signe :
    Si $0 < a < x < b$, alors $\dfrac{1}{b} < \dfrac{1}{x} < \dfrac{1}{a}$.