Diviseurs et multiples

Règle

Il existe des règles, appelées critères de divisibilité, qui permettent de savoir si un nombre entier est divisible par un autre.
Par exemple :

• un nombre est divisible par $2$ si son chiffre des unités est pair ;
• un nombre est divisible par $3$ si la somme de tous ses chiffres est divisible par $3$ ;
• un nombre est divisible par $5$ si son chiffre des unités est $0$ ou $5$.

Diviseur

Soit deux nombres $a$ et $b$. Si l'on divise $a$ par $b$, $a$ est appelé le dividende et $b$, le diviseur.
Par exemple, dans la division $56,7 \div 5,4 = 10,5$, le diviseur est $5,4$.

Le mot diviseur désigne aussi de façon plus restreinte un nombre $b$ (non nul) tel que le reste de la division euclidienne de $a$ par $b$ soit égal à $0$. Dans ce cas, on dit que $a$ est divisible par $b$ (c'est un multiple de $b$) et que $b$ est un diviseur de $a$.

Définitions

Pour deux nombres entiers $n$ et $d$ non nuls, $d$ est un diviseur de $n$ signifie qu’il existe un nombre entier $q$ tel que $n = q \times d$.
On dit aussi que $n$ est divisible par $d$ ou que $n$ est un multiple de $d$.

Remarque :

Si $d$ est un diviseur de $n$ alors le reste de la division euclidienne de $n$ par $d$ est égal à zéro.

Exemples :

$7$ est un diviseur de $91$ car $91 = 7 \times 13$.
De même, $13$ est un diviseur de $91$.

Remarque importante :

$\bf 1$ est un diviseur de tout nombre entier.

Plus grand diviseur commun

Définition :

Un diviseur commun à deux ou plusieurs nombres entiers est un nombre entier qui divise chacun d’eux.

Rappel :

Soit $a$ et $b$ deux nombres entiers. On dit que $b$ est un diviseur de $a$ s'il existe un nombre entier $q$ tel que $a = b \times q$. On dit aussi que $a$ est un multiple de $b$, ou que $a$ est divisible par $b$.

Exemple :

$36 = 12 \times 3$ et $24 = 12 \times 2$.  Donc $12$ est un diviseur commun à $36$ et à $24$.

Multiple

Le produit d'un nombre $a$ par un nombre entier est un multiple de $a$.

Exemple :

$4 \times 0 = 0$ ;
$4 \times 1 = 4$ ;
$4 \times 2 = 8$ ;
$4 \times 3 = 12$ ; etc.
$0, 4, 8, 12$, etc. sont des multiples de $4$.
On peut dire également que $4$ est un diviseur de $0, 4, 8, 12$, etc.