La symétrie
La symétrie par rapport à une droite est appelée symétrie orthogonale par rapport à cette droite ou symétrie axiale. La droite est appelée axe de la symétrie.
Définition : On dit que le point A’ est le symétrique du point A par rapport à une droite (d) si la droite (d) est la médiatrice du segment $\rm [AA’]$.
Le symétrique d’un segment par rapport à une droite (d) est un segment de même longueur. On dit que la symétrie axiale conserve les longueurs.
Le symétrique d’une droite par rapport à une droite $(d)$ est une droite.
Les symétriques de trois points alignés par rapport à une droite $(d)$ sont trois points alignés.
Le symétrique d’un cercle par rapport à une droite $(d)$ est un cercle de même rayon et dont le centre est le symétrique du centre du premier cercle.
Le symétrique d’un angle par rapport à une droite $(d)$ est un angle de même mesure. La symétrie axiale conserve les angles.
La symétrie centrale une symétrie par rapport à un point I. Les points $\bf A$ et $\bf B$ sont symétriques par rapport au point $\bf I$ si $\bf I$ est le milieu de $\bf [AB]$.
La symétrie centrale conserve les angles, les distances, les surfaces, les formes, le parallélisme.
La translation et rotation
Une translation est définie par un vecteur.
Le point $\bf A’$ est l’image du point $\bf A$ dans la translation de vecteur $\vec u$ si :
$\overrightarrow{\rm AA'} = \vec u$.
Le point $\rm C$ est l’image de $\rm D$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{\rm AB}$ si $\rm ABCD$ est un parallélogramme.
La translation conserve l'alignement, les longueurs, les angles, les aires, le parallélisme et l'orthogonalité.
Une rotation est définie par son centre $\rm O$ et un angle $\alpha$.
Le point $\rm A’$ est l’image du point $\rm A$ par la rotation de centre $\rm O$ et d’angle $\alpha$ si :
- $\rm OA = OA'$
- $\widehat{\rm AOA'} = \alpha$
Dans une rotation de centre $\rm O$ et d’angle $\alpha\neq 0~[2\pi]$ seul le centre $\rm O$ est un point invariant.
