Le théorème de Thalès permet de calculer des longueurs. Pour calculer une longueur dans la configuration représentée ci-dessous, il suffit de connaître trois des longueurs figurant dans deux des rapports $\rm \dfrac{AM}{AB}$, $\rm \dfrac{AN}{AC}$ et $\rm \dfrac{MN}{BC}$ : par exemple, on connaît $\rm AM$, $\rm AB$ et $\rm AC$ et on cherche $\rm AN$. Le calcul est facilité par l'égalité des produits en croix.
Théorème de Thalès (appliqué au triangle)
$\rm ABC$ est un triangle. $\rm M$ se trouve sur le segment $\rm [AB]$ et $\rm N$ sur le segment $\rm [AC]$. D'après le théorème de Thalès, si les droites $\rm (BC)$ et $\rm (MN)$ sont parallèles, alors on a l'égalité :
$\rm \dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC} = \dfrac{MN}{BC}$.
Théorème de Thalès (généralisation)
Soit $d$ et $d'$ deux droites sécantes en $\rm A$. On suppose que $\rm B$ et $\rm M$ sont deux points de $d$ distincts de $\rm A$, et que $\rm C$ et $\rm N$ sont deux points de $d'$ distincts de $\rm A$.
Si les droites $\rm (BC)$ et $\rm (MN)$ sont parallèles, alors $\rm\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC} = \dfrac{MN}{BC}$.
Ce théorème peut être appliqué dans deux cas de figure, appelés « situations de Thalès ».
Réciproque du théorème de Thalès
Soit $d$ et $d'$ deux droites sécantes en $\rm A$. On suppose que $\rm B$ et $\rm M$ sont deux points de $d$ distincts de $\rm A$ et que $\rm C$ et $\rm N$ sont deux points de $d'$ distincts de $\rm A$.
Si les points $\rm A$, $\rm M$, $\rm B$ sont alignés dans le même ordre que les points $\rm A$, $\rm N$, $\rm C$ et si $\rm \dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC}$, alors les droites $\bf (BC)$ et $\bf (MN)$ sont parallèles.
Seuls deux rapports égaux interviennent dans l'hypothèse de la réciproque du théorème de Thalès : ce sont les rapports des longueurs des côtés portés par les deux droites sécantes.
La réciproque du théorème de Thalès permet de démontrer que deux droites sont parallèles.
