Le théorème de Thalès permet de calculer des longueurs. Pour calculer une longueur dans la configuration représentée ci-dessous, il suffit de connaître trois des longueurs figurant dans deux des rapports AMAB, ANAC et MNBC : par exemple, on connaît AM, AB et AC et on cherche AN. Le calcul est facilité par l'égalité des produits en croix.

 

Théorème de Thalès (appliqué au triangle)

ABC est un triangle. M se trouve sur le segment [AB] et N sur le segment [AC]. D'après le théorème de Thalès, si les droites (BC) et (MN) sont parallèles, alors on a l'égalité : 

AMAB=ANAC=MNBC.

Théorème de Thalès (généralisation)

Soit d et d deux droites sécantes en A. On suppose que B et M sont deux points de d distincts de A, et que C et N sont deux points de d distincts de A.
Si les droites (BC) et (MN) sont parallèles, alors AMAB=ANAC=MNBC.

Ce théorème peut être appliqué dans deux cas de figure, appelés « situations de Thalès ».

Réciproque du théorème de Thalès

Soit d et d deux droites sécantes en A. On suppose que B et M sont deux points de d distincts de A et que C et N sont deux points de d distincts de A.
Si les points A, M, B sont alignés dans le même ordre que les points A, N, C et si AMAB=ANAC, alors les droites (BC) et (MN) sont parallèles.

Seuls deux rapports égaux interviennent dans l'hypothèse de la réciproque du théorème de Thalès : ce sont les rapports des longueurs des côtés portés par les deux droites sécantes.

La réciproque du théorème de Thalès permet de démontrer que deux droites sont parallèles.