Repères, coordonnées

Soit $3$ points $\rm O$, $\rm I$ et $\rm J$, non alignés.

  • Le repère $\rm (O~ ; I~ ; J)$ est la donnée des droites $\rm (OI)$ et $\rm (OJ)$, graduées et orientées, servant à associer à tout point $\rm M$ du plan, un unique couple $(x~ ; y)$ de réels appelé ses coordonnées.
  • On note simplement $\mathrm M(x~ ; y)$.

Nom des coordonnées

Soit $\mathrm M(x~ ; y)$ dans un repère $\rm (O~ ; I~ ; J)$ du plan :

  • $x$ s’appelle l’abscisse de $\rm M$ et la droite $\rm (OI)$ s’appelle l’axe des abscisses du repère ;
  • $y$ s’appelle l’ordonnée de $\rm M$ et la droite $\rm (OJ)$ s’appelle l’axe des ordonnées du repère.

Dans un repère du plan, l'ordonnée d'un point est l'un des deux nombres qui permet de repérer la position de ce point dans le repère. Elle se lit sur l'axe vertical.
L'autre nombre est l'abscisse. Abscisse et ordonnée sont les coordonnées d'un point : on cite toujours l'abscisse avant l'ordonnée.

Différents types de repères

  • Si les droites $\rm(OI)$ et $\rm (OJ)$ sont perpendiculaires, on parle de repère orthogonal.
  • Si, de plus, les longueurs $\rm OI$ et $\rm OJ$ sont égales, on qualifiera le repère d'orthonormé.
  • Dans le cas général, le repère sera dit quelconque.

Constructions

La distance entre un point $\rm P$ et une droite e du plan est la longueur du segment de droite qui est perpendiculaire à la droite $\bf e$ et qui joint le point $\bf P$ à cette droite.

Soit $\rm (O~ ; I~ ; J)$ un repère orthonormé du plan et $\mathrm A(x_{\rm A}~ ; y_{\rm A})$, $\mathrm B(x_{\rm B} ~; y_{\rm B})$ deux points du plan.
La distance $\rm AB$ est donnée par la formule : $\mathrm{AB} = \sqrt{(x_{\rm B} - x_{\rm A})^2 + (y_{\rm B} - y_{\rm A})^2}$.

Pour trouver la distance entre deux points $\rm A$ et $\rm B$ d'une droite graduée, on calcule la différence de leurs abscisses de la manière suivante : $\scriptstyle\rm AB ~=~ BA$ $\scriptstyle = \textbf{abscisse la plus grande – abscisse la plus petite}$, en se rappelant qu'une distance est toujours un nombre positif.

Deux droites qui, même indéfiniment prolongées, ne se coupent pas, sont parallèles. Si deux droites n'ont aucun point commun, elles sont parallèles.

Deux droites sécantes qui forment un angle droit sont perpendiculaires (on peut dire également orthogonales).
Par un point donné, on ne peut mener qu'une seule perpendiculaire à une droite.