Puissances et racines carrées

Puissance d'un nombre

Soit $a$ un nombre non nul et $n$ un entier naturel non nul. Si $n \geq 2$, alors $a^n$ est le produit de $n$ facteurs tous égaux à $a$ : $a^n =  \underbrace{a \times \ldots \times a}_{a\text{ est écrit }n\text{ fois}}$.

Si $n = 1$, alors $a^1 = a$.

De plus, $a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$. Enfin, par convention, si a $0$ on pose $a^0  = 1$ (donc « $0^0$ » n'est pas défini).

Remarque

$a^n$ et $a^{-n}$ s'appellent des puissances de $a$.
$n$ (ou $-n$) s'appelle l'exposant.
Pour $a^n$, on lit « $a$ à la puissance $n$ » ou « $a$ exposant $n$ ».

Racine carrée

Étant donné un nombre positif $a$, il existe un unique nombre positif dont le carré est égal à $a$. Ce nombre est appelé racine carrée de $a$ et noté $\sqrt a$.
Autrement dit, si $a$ est positif, $\sqrt a$ est l'unique nombre positif tel que $(\sqrt a)^2 = a$.

Exemple

$\sqrt 9 = 3$, car $3^2 = 9$ et $3$ est positif.
$(\sqrt 2)^2 = 3$.

Remarque

Le signe $√$ appelé radical.

Puissance de dix

De la définition de la puissance d'un nombre non nul, on peut déduire que, $n$ étant un entier strictement positif : $10^n$ s'écrit : $1$ suivi de $n$ chiffres $0$. $10^{-n}$ s'écrit : $0,\ldots 1$ avec $n$ chiffres $0$ au total (dont $n - 1$ zéros après la virgule). Bien sûr, $10^0 = 1$.

Remarque

Les puissances de dix permettent d'écrire les nombres décimaux en écriture scientifique.