QUOIQUE, écrit en un seul mot, correspond à une conjonction de subordination signifiant : bien que, encore que...
Exemple : Quoique l'incendie ait été maîtrisé, il y avait encore beaucoup de fumée.

QUOI QUE, écrit en deux mots, correspond à un pronom relatif composé - ou pronom relatif indéfini - signifiant : quelle que soit la chose que, quelque chose que...
Exemple : Quoi que tu aies pu dire, il est souhaitable que tu t'excuses.

Généralement, derrière quoique ou quoi que, on rencontre un verbe conjugué au mode subjonctif.

Pour savoir quelle forme utiliser, on peut essayer de remplacer quoique ou quoi que : si on peut dire « bien que... », il s'écrit en un seul mot ; si on peut dire : « quelle que soit la chose que... », il s'écrit en deux mots.