Compléments sur les variables aléatoires

Définition :

Soit $\rm X$ variable aléatoire réelle.

Sous réserve d’existence, le moment d’ordre $r$ avec $r\in\mathbb N^*$ est : $m_r(\mathrm X)=\mathrm{E(X}^r)$

Définition :

Soit $\rm X$ variable aléatoire réelle.

$\rm X$ est centrée si $\rm X$ admet une espérance et $\rm E(X)=0$.

$\rm X$ est centrée réduite si $\rm X$ admet un moment d’ordre 2 et $\rm E(X)=0$ et $\rm V(X)=1$.

Théorème :

Si $\rm X$ admet un moment d’ordre 2, $\rm X*=\dfrac{X-E(X)}{\sqrt{V(X)}}$ est centrée réduite.

Théorème de transfert :

Si $\rm X$ est une variable aléatoire admettant une densité $f$ nulle en dehors d’un intervalle $]a,b[$ $(-\infty \leq a < b \leq +\infty)$ et si $g$ est une fonction continue sauf éventuellement en un nombre fini de points sur $]a,b[$, $g(\rm X)$ admet une espérance si et seulement si l’intégrale $\displaystyle \int_a^b g(t)f(t)\mathrm dt$ converge absolument et dans ce cas $\displaystyle \mathrm E(g(\mathrm X))= \int_a^b g(t)f(t)\mathrm dt$.

Définition : Loi Gamma

Soit $\rm X$ une variable aléatoire réelle et $\nu>0$.
On dit que $\rm X$ suit une loi $\bf\gamma$ de paramètre $\nu$ ($\rm X\sim \gamma (\nu)$) si elle admet comme densité la fonction :
$f_{\mathrm X}(x) = \left\{\begin{array}{l} \dfrac{x^{\nu-1}}{\Gamma(\nu)}\mathrm e^{-x} \text{ si } x>0\\ 0\text{ sinon }\end{array}\right.$

Avec $\displaystyle \Gamma(\nu)=\int_0^{+\infty}t^{\nu-1}\mathrm e^{-t}\mathrm dt$.

Propriétés :

Si $\rm X$ suit une loi $\bf\gamma$ de paramètre $\nu$,

$\rm E(X)=\nu$ et $\rm V(X)=\nu$.

Théorème : 

Si $\rm X_1$ et $\rm X_2$ sont deux variables aléatoires indépendantes suivant respectivement des lois $\gamma(\nu_1)$et $\gamma(\nu_2)$ alors $\rm X_1 + X_2$ suit une loi $\gamma(\nu_1+\nu_2)$.

Théorème : 

Si $f$ est une densité de probabilité, $\displaystyle \mathrm F :x\mapsto \int_{-\infty}^xf(t)\mathrm dt$ est de classe $\rm C^1$ en tout point où $f$ est continue.

Théorème :

Si $\rm X$ suit une loi uniforme $\mathcal U[0,1]$ et si $a < b$, alors $\mathrm Y = a + (b−a) \mathrm X$ suit une loi uniforme $\mathcal U[a,b]$.

Théorème :

Si $\rm X$ suit une loi normale $\mathcal N(m,\sigma^2)$ et si $a\neq 0$, alors $\mathrm Y = a\mathrm X+b$ suit une loi normale $\mathcal N(am+b,a^2\sigma^2)$.