Inégalité de Markov

Soit X une variable aléatoire réelle à valeurs positives admettant une espérance.
Alors a>0, P(Xa)E(X)a

Inégalité de Bienaymé-Tchebychev

Soit X une variable aléatoire admettant une espérance et une variance.
Alors ϵ>0, P(|XE(X)|ϵ)V(X)ϵ2

Loi faible des grands nombres

Soit (Xn) une suite de variables aléatoires deux à deux indépendantes admettant la même espérance m et un même écart-type σ.
On pose : ¯Xn=X1++Xnn.
Alors ϵ>0, limn+P(|¯Xnm|ϵ)=0

Convergence en probabilité :

La suite (Xn)nN converge en probabilité vers X si : pour tout ϵ>0, limn+P(|XnX|ϵ)=0

Théorème :

Si (Xn)nN converge en probabilité vers X, et si f est continue sur R à valeurs réelles, alors (f(Xn))nN converge en probabilité vers f(X).

Convergence en loi :

La suite (Xn)nN converge en loi vers X si si et seulement si en tout point de continuité x de FX:limn+FXn(x)=FX(x)

Théorème :

Si (Xn)nN converge en loi vers X, et si f est continue sur R à valeurs réelles, alors (f(Xn))nN converge en probabilité vers f(X).

Théorème limite central :

Si (Xn)nN est une suite de variables aléatoires indépendantes et de même loi, admettant une espérance m et une variance σ2 non nulle, si on note : ¯Xn=X1++Xnn, alors la suite de variables aléatoires centrées réduites ¯Xn=n(¯Xnmσ) converge en loi vers une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite.