Inégalité de Markov
Soit X une variable aléatoire réelle à valeurs positives admettant une espérance.
Alors ∀a>0, P(X≥a)≤E(X)a
Inégalité de Bienaymé-Tchebychev
Soit X une variable aléatoire admettant une espérance et une variance.
Alors ∀ϵ>0, P(|X−E(X)|≥ϵ)≤V(X)ϵ2
Loi faible des grands nombres
Soit (Xn) une suite de variables aléatoires deux à deux indépendantes admettant la même espérance m et un même écart-type σ.
On pose : ¯Xn=X1+…+Xnn.
Alors ∀ϵ>0, limn→+∞P(|¯Xn−m|≥ϵ)=0
Convergence en probabilité :
La suite (Xn)n∈N∗ converge en probabilité vers X si : pour tout ϵ>0, limn→+∞P(|Xn−X|≥ϵ)=0
Théorème :
Si (Xn)n∈N∗ converge en probabilité vers X, et si f est continue sur R à valeurs réelles, alors (f(Xn))n∈N∗ converge en probabilité vers f(X).
Convergence en loi :
La suite (Xn)n∈N∗ converge en loi vers X si si et seulement si en tout point de continuité x de FX:limn→+∞FXn(x)=FX(x)
Théorème :
Si (Xn)n∈N∗ converge en loi vers X, et si f est continue sur R à valeurs réelles, alors (f(Xn))n∈N∗ converge en probabilité vers f(X).
Théorème limite central :
Si (Xn)n∈N∗ est une suite de variables aléatoires indépendantes et de même loi, admettant une espérance m et une variance σ2 non nulle, si on note : ¯Xn=X1+…+Xnn, alors la suite de variables aléatoires centrées réduites ¯Xn∗=√n(¯Xn−mσ) converge en loi vers une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite.