Dimensions d'espaces vectoriels

Définition : la dimension d'un $\rm ev$ $\rm E$ est le cardinal (c'est-à-dire le nombre d'éléments) d'une base de $\rm E$. 

Donc pour chercher la dimension d'un $\rm sev$ ou un $\rm ev$, il faut chercher une base.

Théorème très pratique si on connaît à l'avance la dimension d'un $\rm sev$ pour en déterminer une base :

Soit $\rm F$ un $\rm sev$ de dimension $\rm n$ et soit ${\mathcal B}$ une famille de $\rm F$. 

• Si ${\mathcal B}$ est une famille de cardinal $\rm n$ libre alors ${\mathcal B}$ est une base de $\rm F$
• Si ${\mathcal B}$ est une famille de cardinal $\rm n$ génératrice alors ${\mathcal B}$ est une base de $\rm F$

Soit $\rm F$ et $\rm G$ des $\rm sev$ de $\rm E$ de dimension finie. On a alors la formule dite des dimensions ou de Grassman :

$\rm \dim(F+G) = \dim(F)+\dim(G)$ $-$ $\rm \dim(F \cap G)$. 

En particulier, si $\rm F$ et $\rm G$ sont en somme directe, on a $\rm \dim(F\oplus G) = \dim(F)+\dim(G)$.

Théorème : soit $f$ une application linéaire d'un espace $\rm E$ de dimension finie dans un espace $\rm F$ (pas forcément de dimension finie).

${\rm \dim(E)} = \dim({\rm ker}(f)) + {\rm rg}(f)$

On rappelle que ${\rm rg}(f)$ est la dimension de l'image. 

Ce théorème nous dit que plus l'image est "grande" plus le noyau est "petit". Et vice et versa. 

Conséquence pour les endomorphismes en dimension finie. On montre facilement à partir de la formule du rang que si $f$ est un endomorphisme d'un espace de dimension finie :

$f$ est injective si et seulement si $f$ est surjective si et seulement si $f$ est bijective (c'est-à-dire un automorphisme).