Espaces vectoriels et applications linéaires

a) Ce qu'il faut retenir de la définition d'un espace vectoriel $\rm (ev)$. La définition est longue et relativement compliquée. Il faut retenir qu'il y a deux opérations : 

• L'addition : si on ajoute deux éléments de $\rm E$ - qu'on appelle vecteurs - on obtient un nouveau vecteur
• La multiplication externe : si on multiplie un vecteur par un scalaire (c'est-à-dire un réel ou un complexe) on obtient un vecteur.
  "externe", car on multiplie un vecteur par un objet extérieur à l'espace vectoriel à savoir un scalaire.

Retenir qu'il y a un vecteur particulier : le vecteur nul noté $\rm 0_E$ qui vérifie $x+0_{\rm E}=x$ pour tout vecteur $x$ de $\rm E$.

b) Connaître les ev de références :

• $\rm {\Bbb R}^n$ (ou $\rm {\Bbb C}^n$). Un vecteur est $\rm n$-uplet $(x_1,\ldots,\rm x_n)$. Le vecteur nul est $(0,\ldots,0)$.
• $({\Bbb K}^{{\Bbb N}},+,.)$ l'ensemble des suites à valeurs dans ${\Bbb K}$. Le vecteur nul = la suite nulle notée $\rm (0)_{n \ge 0}$. 
• $\rm ({\mathcal F}(A,{\Bbb R}),+,.) = ({\Bbb R}^{A},+,.)$ l'ensemble des fonctions de $\rm A$ dans ${\Bbb R}$ où $\rm A$ désigne une partie de ${\Bbb R}$. Le vecteur nul est la fonction nulle.
• $\rm (M_{n,p}({\Bbb K}),+,.)$ l'ensemble des matrices de taille $\rm n \times p$ à coefficients dans ${\Bbb K}$
  Le vecteur nul est la matrice nulle notée $(0)$.
• $\rm {\Bbb K}[X]$ l'espace vectoriel des polynômes. Le vecteur nul est le polynôme nul noté $\rm 0_{{\Bbb K}[X]}$.

a) La notion de sous-espace vectoriel engendré.

C'est l'une des notions les plus importantes du cours d'algèbre linéaire. 

Définition : Soit $\rm E$ un ${\Bbb K}$-$\rm ev$. Une famille finie de vecteurs de $\rm E$ est la donnée d'un nombre fini de vecteurs de $\rm E$. Une famille se note $\rm {\mathcal F} = (u_1, \ldots, u_p)$ ou $\rm {\mathcal F} =
\left(u_i\right)_{1 \leq i \leq p}$.

Le sous-espace vectoriel engendré par la famille ${\mathcal F}$, noté ${\rm vect}({\mathcal F})$, est l'ensemble des combinaisons linéaires $\rm (=C.L)$ des vecteurs $\rm u_1, \ldots, u_p$. Autrement dit : ${\rm vect}({\mathcal F}) =\rm \{\lambda_1 u_1 + \ldots + \lambda_p u_p$ tel que $\rm (\lambda_1,\ldots,\lambda_p) \in {\Bbb K}^p\}$.

Remarque : si $\rm p=1$, alors $\rm vect({\mathcal F}) = \rm vect(u_1) = \{\lambda.u_1 \mid \lambda \in {\Bbb K}\}$ ; c'est une droite vectorielle. 

Théorème : un sous-espace vectoriel engendré est un sous-espace vectoriel.

b) Méthode pour écrire un sous-espace vectoriel défini par des équations sous la forme d'un sous-espace vectoriel engendré :

Par exemple : soit $\mathrm F = \{(x,y,z) \in {\Bbb R}^3 \mid x+y+z=0\}$. 

On écrit un vecteur de $\rm F$ avec le MINIMUM de paramètres possibles. On a besoin de 3 paramètres : $x$, $y$ et $z$ pour décrire un vecteur de ${\Bbb R}^3$ mais si ce vecteur appartient à $\rm F$, on sait que (par exemple) $z=-x-y$ donc $(x,y,z) = (x,y,-x-y)$ puis on décompose :

$(x,y,z) = (x,y,-x-y) = (x,0,-x)+(0,y,-y) = x(1,0,-1) + y(0,1,-1)$ ce qui montre que tous les vecteurs de $\rm F$ sont des $\rm C.L$ des vecteurs $\rm a=(1,0,-1)$ et $\rm b=(0,1,-1)$.

Autrement dit, on a montré que $\rm F = vect(a,b)$. 

Cela montre que $\rm F$ est un sous-espace vectoriel engendré donc un $\rm sev$ ! (cf théorème précédent) donc un $\rm ev$ ! 

En effet, par théorème, un sev est un ev !

c) Comment montrer qu'une partie d'un ev est un sous-espace vectoriel ?

Soit $\rm F$ une partie d'un $\rm ev$ $\rm E$. On se demande si $\rm F$ est un $\rm sev$ ou pas.

• Premier test à faire. Si le vecteur nul $\rm 0_E$ n'appartient pas à $\rm F$ alors $\rm F$ n'est pas un $\rm sev$. 

Par exemple, l'ensemble $\mathrm F=\{(x,y,z) \in {\Bbb R}^3 \mid x+y+z=1\}$ n'est pas un $\rm sev$ car le vecteur nul $(0,0,0)$ n'appartient pas à $\rm F$.

• On utilise la définition :

$\rm F$ est une partie non vide $\rm E$ stable par $\rm C.L$ c'est-à-dire $\forall (x,y) \in \rm F^2$, $\forall (\lambda,\mu) \in {\Bbb K}^2$, $\lambda x + \mu y \in \rm F$ ce que l'on peut écourter en $\forall (x,y) \in \rm F^2$, $\forall \lambda\in {\Bbb K}$, $\lambda x + y \in \rm F$.

• On montre que $\rm F$ est un sev engendré (voir exemple dans le paragraphe précédent).

• On montre que $\rm F$ est le noyau d'une application linéaire.

a) Comment montrer qu'une application est linéaire ?

• On utilise la définition : $f:\rm E \rightarrow F$ est linéaire si $\forall (x,y) \in \rm E^2$, $\forall \lambda\in {\Bbb K}$, $f(\lambda x + y ) = \lambda f(x) + f(y)$.

• On utilise le fait qu'une $\rm C.L$ ou la composées d'applications linéaires est encore linéaire.

Par exemple, si on sait que $f$ et $g$ sont linéaires alors : $f-5g + f \circ g$ est aussi linéaire.

• Si $f$ n'envoie pas le vecteur nul de l'espace de départ sur le vecteur nul de l'espace d'arrivée alors $f$ n'est pas linéaire.

b) Vocabulaire

• Un endomorphisme est une $\rm A.L$ de $\rm E$ dans $\rm E$ (le préfixe grec "endo" signifie à "l'intérieur de" ; on reste à l'intérieur de $\rm E$).
• Un isomorphisme est une $\rm A.L$ de $\rm E$ dans $\rm F$ bijective.
• Un automorphisme est un endomorphisme bijectif.

c) Noyau et Image

Définition :
Soit $f$ une application linéaire de $\rm E$ vers $\rm F$.
Le noyau de $f$ est : $\mathrm{Ker}(f)=\{x\in \mathrm E/f(x)=0$ vecteur nul)$\}$.
L’image de $f$ est : $\mathrm{Im}(f)=\{y\in \mathrm F$ / il existe $x\in \mathrm E, f(x)=y\}$.

Théorème :
Le noyau de $f$ est un sous-espace vectoriel de $\rm E$.
L’image de $f$ est un sous-espace vectoriel de $\rm F$.