Définition : Soit $\rm {\mathcal F}=(u_1,\ldots,u_n)$ une famille de vecteurs de $\rm E$.
${\mathcal F}$ est libre dans $\rm E$ si la famille n'est pas liée.
Cela revient à dire, ${\mathcal F}$ est libre dans $\rm E$ (on dit aussi que les vecteurs sont linéairement indépendants dans $\rm E$) si $\rm \forall (\lambda_1, \ldots, \lambda_n) \in {\Bbb K}^n$ : $\rm \lambda_1 \cdot u_1 + \ldots + \lambda_n \cdot u_n = 0_E$ $\Longrightarrow$ $\rm (\lambda_1 =0, \lambda_2 =0, \ldots, \lambda_n = 0)$.
Exemple :
On considère $\rm E={\Bbb R}^3$ muni de sa structure canonique d'$\rm ev$.
Soient $\rm u_1=(2,1,5)$, $\rm u_2=(-1,1,-1)$ et $\rm u_3=(1,1,3)$.
Soient $(\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3) \in {\Bbb R}^3$ tel que $\rm \lambda_1\cdot u_1 + \lambda_2\cdot u_2 + \lambda_3\cdot u_3 = 0_E$.
On obtient le système :
$\left\{\begin{array}{rrrrrrr}
2\cdot \lambda_1 & - & \lambda_2 & + & \lambda_3 & = & 0\\
\lambda_1 & + & \lambda_2 & + & \lambda_3 & = & 0\\
5\cdot \lambda_1 & - & \lambda_2 & + & 3\cdot \lambda_3 & = & 0
\end{array}\right.$.
On utilise la méthode du pivot de Gauss.
$\left(\begin{array}{rrr}
2 & -1 & 1 \\
1 & 1 & 1 \\
5 & -1 & 3
\end{array}\right)$.
On effectue les opérations suivantes :
$\displaystyle \rm L_2 \leftarrow L_2 - \frac{1}{2}L1$ et $\displaystyle \rm L_3 \leftarrow L_3 - \frac{5}{2}L1$.
$\left(\begin{array}{rrr}
2 & -1 & 1 \\
& & \\
0 & \displaystyle \frac{3}{2} & \displaystyle \frac{1}{2} \\
& & \\
0 & \displaystyle \frac{3}{2} & \displaystyle \frac{1}{2}
\end{array}\right)$.
On revient au système :
$\left\{\begin{array}{lllll}
2\cdot \lambda_1 & - & \lambda_2 & + & \lambda_3 & = & 0\\
& & 3\cdot \lambda_2 & + & \lambda_3 & = & 0\\
\end{array}\right.$.
On peut exprimer les solutions en fonction de $\lambda_2$ par exemple.
$\lambda_3 = -3\cdot \lambda_2$ et $2\cdot \lambda_1 = \lambda_2 - \lambda_3 =
4\cdot \lambda_2$. Donc $\lambda_1 = 2\cdot \lambda_2$.
Les solutions du système sont $\left\{(2\cdot \lambda_2,\lambda_2,-3\cdot \lambda_2) \mid \lambda_2 \in {\Bbb R}\right\} = {\rm vect}((2,1,-3))$.
En choisissant par exemple $\lambda_2 = 1$, on obtient la solution $(2,1,-3)$.
Cela signifie qu'on a la relation linéaire: $\rm 2\cdot u_1 + u_2 -3\cdot u_3 = 0_E$
Donc la famille est liée.
A retenir :
Montrer que la famille $\rm {\mathcal F} = \left(u_i\right)_{1\leq i \leq n}$ est libre est équivalent à montrer que le système linéaire $\rm \lambda_1\cdot u_1 + \ldots + \lambda_n\cdot u_n = 0_E$ d'inconnues les $\rm \lambda_i$ n'admet que la solution nulle comme solution.
Attention : $\rm n$ vecteurs libres ne signifient pas $2$ à $2$ non colinéaires.
Exemple : $\rm a=(1,0)$, $\rm b=(0,1)$ et $\rm c=a+b=(1,1)$ dans ${\Bbb R}^2$. Les vecteurs $\rm a$, $\rm b$ et $\rm c$ sont deux à deux non colinéaires mais pourtant la famille $\rm (a,b,c)$ est liée.
