1) Définition

Soit E et F deux ensembles. E est l'ensemble de départ. F est l'ensemble d'arrivée. Soit f une application de E dans F. 

  1. f est injective si tous les éléments de F admettent au plus c'est-à-dire aucun ou un antécédent dans E.
  2. f est surjective si tous les éléments de F admettent au moins c'est-à-dire un ou plusieurs antécédent(s) dans E.
  3. f est bijective si tous les éléments de F admettent exactement un seul antécédent dans E ce qui revient à dire que f est injective et surjective. 

2) Exemple 

L'application f de R dans R telle que f(x)=x2 n'est pas injective car 7, par exemple, admet deux antécédents à savoir √7 et −√7. 

f n'est pas surjective car, par exemple, −12 n'a pas d'antécédent. 

L'application f de R− dans R est injective, mais pas surjective. 

Remarque : Une application f de E sur son ensemble image f(E) est toujours surjective par définition même d'un ensemble image.

3) Définition d'une application réciproque

Si une f:E→F est une bijection, on peut alors définir l'application réciproque f−1 de F dans E qui à y de F associe son unique antécédent dans E.

Exemple : la fonction f de R− dans R+ définie par f(x)=x2 est bijective. Son application réciproque est l'application f−1:R+⟶R− définie par f−1(y)=−√y.

Théorème : L'application réciproque des propriétés de f c'est-à-dire si f est continue alors f−1 aussi, f−1 a le même sens de variation et la même parité que f. Seule la dérivabilité peut faire défaut (par exemple, sin est dérivable de [−π/2,π/2] dans [−1,1] mais son application réciproque qui est arcsin n'est dérivable que sur ]−1,1[). 

4) Comment montrer qu'une application f:E→F est injective/surjective/bijective ?

Soit y dans f. On considère l'équation f(x)=y d'inconnue x. 

  1. Si cette équation a au moins une solution pour n'importe quel y, alors f est surjective.
  2. Si cette équation n'a pas de solution pour au moins un y, alors f n'est pas surjective.
  3. Si cette équation a au plus une solution pour n'importe quel y, alors f est injective.
  4. Si cette équation admet au moins deux solutions pour au moins un y, alors f n'est pas injective.
  5. Si cette équation a une et une seule solution pour n'importe quel y, alors f est bijective.

Pour une fonction injective, on peut également suivre le schéma de démonstration suivant souvent utilisé pour les exercices théoriques :

Soit x et x′ deux éléments de l'ensemble de départ tels que f(x)=f(x′). ......

À la fin, on montre que x=x′.

Exemple : montrer que l'application f:N→N telle que f(n)=n2 est injective. Soit n et n′ deux entiers tels que f(n)=f(n′). Alors n2=n′2 soit 0=n2−n′2=(n−n′)(n+n′) ce qui implique que n=n′ ou n=−n′. Si n≠n′, on ne peut avoir n=−n′ pour des raisons de signe, donc on a forcément n=n′. Donc f est injective. Remarquons que f n'est pas surjective. 

5) Dans le cas spécifique des fonctions de R dans R, on dispose du théorème suivant :

Théorème : une fonction d'un intervalle I dans R strictement monotone et continue est bijective de I sur son ensemble image f(I) qui est un intervalle.

Remarque : la réciproque est fausse. La fonction f:[0,2]→[0,2] telle f(x)=x si x∈[0,1[ et f(x)=−x+3 si x∈[1,2] est bijective de [0,2] dans [0,2] mais n'est ni continue ni strictement monotone.