Inversion de matrices

Une matrice carrée $\rm A$ de $\rm M_n({\Bbb K})$ est inversible s'il existe une matrice $\rm B \in M_n({\Bbb K})$ tel que $\rm A \times B = I_n$.

Dans ce cas, $\rm B$ s'appelle l'inverse de $\rm A$ et se note $\rm A^{-1}$.

On note $\rm GL_n({\Bbb K})$ l'ensemble des matrices inversibles de $\rm M_n({\Bbb K})$.

Remarque : si $\rm A \times B = I_n$ alors nécessairement $\rm B \times A =I_n$.

Théorème : une matrice est inversible si et seulement son rang est égal à son ordre (c'est-à-dire au nombre de lignes = nombre de colonnes).

• On écrit le système $\rm (S): AX=Y$ d'inconnue $\rm X$ et de second membre $\rm Y$
• On le résout à l'aide de la méthode du pivot de Gauss
• On détermine en cours de route le rang de la matrice. Si le rang est maximum, la matrice est inversible. On peut continuer la résolution du système $\rm (S)$
• On obtient l'expression de $\rm X$ en fonction de $\rm Y : X = A^{-1}Y$. La lecture des coefficients devant les $y_{\rm  i}$ fournit les coefficients de la matrice inverse $\rm A^{-1}$

Exemple :

$\rm A = \left(
\begin{array}{rrr}
-1 & 2 & 3 \\
2 & 1 & -1 \\
3 & 0 & -2
\end{array}
\right)$.

On considère donc le système :

$\rm (S) \left\{\begin{array}{ccccccc}
\rm -x_1 & + & 2x_2 & + & 3x_3 & = & y_1 \\
2x_1 & + & x_2 & - & x_3 & = & y_2 \\
3x_1 & & & - &2x_3 & = & y_3
\end{array}\right.$

On utilise la méthode du pivot de Gauss sur : 

$\left(
\begin{array}{rrr|r}
-1 & 2 & 3 & y_1 \\
2 & 1 & -1 & y_2\\
3 & 0 & -2 & y_3
\end{array}
\right)$.

On effectue les opérations : $\rm L_2 \leftarrow L_2 + 2L_1$ et $\rm L_3 \leftarrow L_3 + 3L_1$ :

$\left(\begin{array}{rrr|r}
-1 & 2 & 3 & y_1\\
0 & 5 & 5 & y_2+2y_1\\
0 & 6 & 7 & y_3+3y_1
\end{array}
\right)$.

Puis l'opération $\rm L_3 \leftarrow 5L_3-6L_2$ :

$ \left(\begin{array}{rrr|r}
-1 & 2 & 3 & y_1\\
0 & 5 & 5 & y_2+2y_1\\
0 & 0 & 5 & 3y_1 -6y_2 + 5y_3
\end{array}
\right)$.

Le rang de la matrice est $3$ car il y a $3$ pivots dans la matrice est inversible. 

Le système linéaire correspondant est :

$\scriptstyle \rm (S) \left\{\begin{array}{ccccccc}
\scriptstyle -x_1 &\scriptstyle + &\scriptstyle 2x_2 &\scriptstyle + &\scriptstyle 3x_3 &\scriptstyle = &\scriptstyle y_1 \\
& &\scriptstyle 5x_2 &\scriptstyle - &\scriptstyle 5x_3 &\scriptstyle = &\scriptstyle 2y_1 + y_2 \\
& & & &\scriptstyle 5x_3 &\scriptstyle = &\scriptstyle 3y_1 -6y_2 + 5y_3
\end{array}\right.$

On en déduit que $\displaystyle x_3= \frac{3}{5}y_1 - \frac{6}{5}y_2 + y_3$ puis en remontant les équations : $\displaystyle x_2 = -\frac{1}{5}y_1 + \frac{7}{5}y_2 -
y_3$ puis $\displaystyle x_1 = \frac{2}{5}x_1 - \frac{4}{5}x_2 + y_3$

On a donc :

$\left\{\begin{array}{ccccccc}
x_1 & = & \displaystyle \frac{2}{5}x_1 & - & \displaystyle \frac{4}{5}x_2 & +& y_3 \\
x_2 & = & \displaystyle -\frac{1}{5}y_1 & + & \displaystyle \frac{7}{5}y_2 & - & y_3 \\
x_3 & = & \displaystyle \frac{3}{5}y_1 & - & \displaystyle \frac{6}{5}y_2 & +& y_3
\end{array}\right.$

On en déduit que :

$\rm A^{-1} = \left(
\begin{array}{rrr}
2/5 & -4/5 & 5/5\\
-1/5 & 7/5 & -5/5\\
3/5 & -6/5 & 5/5
\end{array}
\right)$ $\displaystyle = \frac{1}{5}\left(
\begin{array}{rrr}
2 & -4 & 5\\
-1 & 7 & -5\\
3 & -6 & 5
\end{array}
\right)$

On vérifie que $\rm AA^{-1}=I_3$ ou plus simplement pour ne pas s’embarrasser avec les fractions que :

$\rm A \times (5A^{-1}) = \left(\begin{array}{rrr}
-1 & 2 & 3 \\
2 & 1 & -1 \\
3 & 0 & -2\end{array}\right)$ $\left(\begin{array}{rrr}
2 & -4 & 5\\
-1 & 7 & -5\\
3 & -6 & 5 \end{array}\right)$ $\rm = 5I_3$.

Autre méthode : on connaît un polynôme annulateur de $\rm A$. Dans ce cas, on essaie d'isoler $\rm I_n$ dans la relation si c'est possible. 

Par exemple, supposons que $\rm A$ vérifie la relation $\rm 4A^2-A+3I=0$ autrement dit le polynôme $\rm P(X) = 4X^2-X+3$ est un polynôme annulateur. 

On isole $\rm I$ dans la relation : $\rm 3I = -4A^2+A$ donc $\displaystyle\rm I = -\frac{4}{3}A^2 + \frac{1}{3}A$ $\displaystyle \rm = A \times \frac{1}{3}\left(-4A+I\right)$. 

On en déduit que $\rm A$ est inversible et que $\displaystyle \rm A^{-1} = \frac{1}{3}\left(-4A+I\right)$.

Matrice inversible :

• $\rm A$ est inversible si et seulement si $\rm \det(A)\neq 0$. Dans ce cas $\displaystyle \rm \det(A^{-1})=\frac{1}{\det(A)}$
• Si $\rm A$ est inversible, $\displaystyle\rm A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}^t(Com(A))$.