Matrices et endomorphismes

a) Matrice associée à un endomorphisme :

C'est la même définition que pour une $\rm A.L$ mais la base de départ doit être la même que celle d'arrivée.

b) Matrice de passage

Définition :

Soit $\rm E$ un ${\Bbb K}$-$\rm ev$ de dimension finie $\rm n$.
Soient ${\mathcal B}$ et ${\mathcal B}'$ des bases de $\rm E$.
La matrice de passage de ${\mathcal B}$ à ${\mathcal B}'$, notée $\rm P_{{\mathcal B} \rightarrow {\mathcal B}'}$, est la matrice de $\rm M_n({\Bbb K})$ dont les colonnes sont formées des coordonnées des vecteurs de ${\mathcal B}'$ dans la base ${\mathcal B}$.

Autrement dit, si on note $\rm {\mathcal B}=(e_1,\ldots,e_n)$ et $\rm {\mathcal B}'=(e_1',\ldots,e_n')$ et si pour tout $\rm j \in \{1,\ldots,n\}$, $\displaystyle\rm e_j' = \sum_{i=1}^{n}a_{i,j}e_i$ alors :

$\begin{array}{lll}
\scriptstyle \rm P_{{\mathcal B} \rightarrow {\mathcal B}'} & \scriptstyle = &
\scriptstyle \rm \left(\begin{array}{ccccc}
\scriptstyle \rm a_{1,1} & \scriptstyle\ldots & \scriptstyle \rm a_{1,j} & \scriptstyle \ldots & \scriptstyle \rm a_{1,n}\\
& & & & \\
\scriptstyle \vdots & & & & \scriptstyle \vdots\\
& & & & \\
\scriptstyle \rm a_{n,1} & \scriptstyle \ldots & \scriptstyle \rm a_{n,j} & \scriptstyle \ldots & \scriptstyle \rm a_{n,n}\\
\end{array}\right)
& \begin{array}{l}
\scriptstyle \rm e_1 \\
\\
\\
\scriptstyle \rm e_n\\
\end{array}\\
&& \left.\begin{array}{ccccc}
\quad\scriptstyle \uparrow \hspace{0.6cm}& & \scriptstyle \uparrow &
& \hspace{0.5cm}\uparrow\\
\quad \scriptstyle \rm e_1' \hspace{0.5cm}& & \scriptstyle \rm e_j' & &\hspace{0.6cm} \scriptstyle \rm e_p'\\
\end{array}\right. & \\
\end{array}$

Exemple : Dans $\rm E={\Bbb R}^2$, on considère la base canonique ${\mathcal B}=(f_1,_2)$ et la base $\rm {\mathcal B}'=(v_1,v_2)$définie par $\rm v_1=(1,3)$ et $\rm v_2=(1,-1)$.

La matrice de passage de ${\mathcal B}$ à ${\mathcal B}'$ est la matrice de $\rm M_2({\Bbb R})$ :

$\rm P_{{\mathcal B} \rightarrow {\mathcal B}'}=\left(\begin{array}{rr}
1 & 1 \\
3 & -1
\end{array}\right)$.

c) Formule de changement de base

Soit $\rm E$ un ${\Bbb K}$-espace vectoriel de dimension finie muni de deux bases ${\mathcal B}$ et ${\mathcal B'}$.

$\begin{array}{ccc}
\rm E & \stackrel{f}{\longrightarrow} & \rm E \\
{\mathcal B} & & {\mathcal B} \\
{\mathcal B}' & & {\mathcal B}'
\end{array}$

On note $\mathrm A={\rm Mat}_{{\mathcal B}}(f)$, $\mathrm A'={\rm Mat}_{{\mathcal B}'}(f)$ et $\rm P=P_{{\mathcal B} \rightarrow {\mathcal B}'}$. Alors $\rm A'=P^{-1}AP$.

d) Automorphisme

Théorème : soit $f$ un endomorphisme d'un espace $\rm E$ de dimension finie.

$f$ est bijective si et seulement si sa matrice est inversible.