Polynômes

Théorème à connaître :

• Dans ${\Bbb C}$ : tout polynôme se factorise complètement c'est-à-dire s'écrit en produit de facteurs de degré $1$.
• Dans ${\Bbb R}$ : tout polynôme se factorise en produit de facteurs de degré $1$ et éventuellement en produit de facteurs de degré $2$ à discriminant $< 0$.

Exemple : $\rm X^3-1 = (X-1)(X^2+X+1)$ est la factorisation dans $\rm {\Bbb R}[X]$. Le trinôme $\rm X^2+X+1$ n'est pas plus factorisable dans $\rm {\Bbb R}[X]$.

• Dans $\rm {\Bbb C}[X]$, on peut aller plus loin $\rm X^2+X+1 = (X-j)(X-\overline{j})$ avec $\displaystyle\rm j=e^{\frac{2i\pi}{3}}$ (racine cubique de l'unité).

Donc $\rm X^3-1 = (X-1)(X-j)(X-\overline{j})$ (produit de facteurs de degré $1$).

Pour factoriser un polynôme, il faut chercher ses racines. Il n'y a pas de méthode générale et systématique pour cela sauf équations particulières (cf. équation du second degré ou $x^{\rm n}-1=0$ dans ${\Bbb C}$).

a) La méthode consiste à chercher une racine évidente $\rm a$ puis à factoriser le polynôme $\rm P$ par $\rm X-a$ à l'aide de la division euclidienne.

Exemple : $\rm P(X) = X^3-1$ a une racine évidente qui est $1$. Donc un théorème du cours nous dit qu'il existe un polynôme $\rm Q$ tel que $\rm P(X) = (X-1)Q(X)$.

On détermine le polynôme $\rm Q$ par division euclidienne :

Ensuite, on cherche une racine évidente $\rm b$ de $\rm Q$ donc $\rm Q(X)=(X-b)S(X)$ et donc $\rm P(X) = (X-a)(X-b)S(X)$. Puis on cherche une racine évidente de $\rm S$ etc...

b) Penser aux identités remarquables.

Exemple :

$\rm X^4-1 = (X^2)^2-1$ $\rm = (X^2-1)(X^2+1)$ $\rm = (X-1)(X+1)(X^2+1)$ dans $\rm {\Bbb R}[X]$.

Dans $\rm {\Bbb C}[X]$, $\rm X^2+1$ est une identité remarquable car $\rm X^2+1 = X^2 - i^2 = (X-i)(X+i)$ donc$\rm X^4-1 = (X-1)(X+1)(X-i)(X+i)$ .

Autre exemple : $\rm X^4+1$ se factorise dans $\rm {\Bbb R}[X]$ d'après le théorème cité plus haut ! Il se factorise forcément en un produit de deux facteurs de degré $2$ car il n'a pas de racine dans ${\Bbb R}$.

On va écrire le polynôme comme le début d'une identité remarquable.

$\rm X^4+1 = (X^2)^2 + 1$ $\rm = (X^2+1)^2 - 2X^2$ $\rm = (X^2+1)^2 - (\sqrt{2}X)^2 $ $\rm = (X^2+1 - \sqrt{2}X)(X^2+1 + \sqrt{2}X)$. On vérifie facilement (calcul du discriminant) que ces deux trinômes ne sont pas plus factorisables dans $\rm {\Bbb R}[X]$.

c) Pour factoriser un polynômede $\rm {\Bbb R}[X]$, on peut le factoriser dans $\rm {\Bbb C}[X]$ puis rassembler les facteurs conjugués. En effet, un théorème affirme que si $\rm a \in {\Bbb C}$ est une racine de $\rm P \in {\Bbb R}[X]$ alors $\rm \overline{a}$ est aussi une racine de $\rm P$. On va donc rassembler les facteurs$\rm (X-a)(X-\overline{a})$ en utilisant la formule :$\rm (X-a)(X-\overline{a}) = X^2 - 2Re(a) X + |a|^2$.

Exemple : Factorisons le polynôme $\rm X^4+1$ d'abord dans $\rm {\Bbb C}[X]$. Il faut donc chercher les racines de ce polynôme c'est-à-dire résoudre l'équation $z^4=-1$. Cela revient à chercher les racines $4$-ème de $-1$.

On a $\rm -1 = e^{i\pi}$. Une racine $4$-ème possible est donc $z_0 = \rm e^{i\pi/4}$. On obtient les autres en multipliant $z_0$ par les racines $4$-ème de l'unité : $1$, $\rm i = e^{i\pi/2}$, $\rm -1=e^{i\pi}$ et $\rm -i=e^{-i\frac{\pi}{2}}$.

On trouve $z_1 = z_0 \times \rm e^{i\pi/2} = e^{3i\pi/4}$, $z_2 = z_0 \times \rm e^{i\pi} = e^{5i\pi/4} = e^{-3i\pi/4}$ $=\overline{z_1}$ et $z_3 = z_0 \times \rm e^{-i\pi/2} = e^{-i\pi/4}$ $=\overline{z_0}$.

La factorisation dans $\rm {\Bbb C}[X]$ est $\rm X^4+1$ $= (\mathrm X-z_0)(\mathrm X-z_1)(\mathrm X-z_2)(X-z_3)$ $= (\mathrm X-z_0)(\mathrm X-\overline{z_0})(\mathrm X-z_1)(\mathrm X-\overline{z_1})$.

Or $(\mathrm X-z_0)(\mathrm X-\overline{z_0})$ $= \mathrm X^2-2\mathrm{Re}(z_0)\mathrm X + |z_0|^2$ $\rm = X^2-\sqrt{2}X+1$ et $(\mathrm X-z_1)(\mathrm X-\overline{z_1})$ $= \mathrm X^2-2\mathrm{Re}(z_1)\mathrm X + |z_1|^2 = \rm X^2+\sqrt{2}X+1$.

Donc la décomposition de $\rm X^4+1$ dans $\rm {\Bbb R}[X]$ est $\rm X^4+1$ $\rm = (X^2-\sqrt{2}X+1)(X^2+\sqrt{2}X+1)$.

Définition :

Soit $\rm P \in {\Bbb K}[X]$. Soit $\rm a \in {\Bbb K}$. Soit $\rm k \in {\Bbb N}^*$.

• On dit que $\rm a$ est une racine d'ordre au moins $\rm k$ de $\rm P$ si $\rm (X-a)^{k}$ divise $\rm P$ c'est-à-dire $\rm P(X)=(X-a)^kQ(X)$ avec $\rm Q (X)$ un polynôme.
• On dit que $\rm a$ est une racine d'ordre exactement $\rm k$ de $\rm P$ si $\rm (X-a)^{k}$ divise $\rm P$ et si $\rm (X-a)^{k+1}$ ne divise pas $\rm P$.
  Cela revient à dire que $\rm P$ s'écrit $\rm P(X) = (X-a)^{k}Q(X)$ et $\rm Q(a) \neq 0$.
• On dit aussi que $\rm a$ est une racine de multiplicité $\rm k$.

Exemple :

Soit $\rm P(X)=3(X^2+1)^2(X-2)$. $\rm P$ est un polynôme réel ou complexe.

• Dans $\rm {\Bbb K}={\Bbb R}$ : $2$ est une racine d'ordre $1$ ou simple de $\rm P$.
• Dans $\rm {\Bbb K}={\Bbb C}$ : $\rm i$ et $\rm -i$ sont des racines d'ordre $2$ ou doubles. $2$ est une racine simple.

Théorème : caractérisation des racines multiples

Soit $\rm a \in {\Bbb K}$. Soit $\rm k \in {\Bbb N}^*$.

• $\rm a$ est une racine d'ordre au moins $\rm k$ si et seulement si $\rm P(a)=P'(a)=\ldots=P^{(k-1)}(a)=0$.
• $\rm a$ est une racine d'ordre ou de multiplicité exactement $\rm k$ de $\rm P$ si et seulement si $\rm P(a)=P'(a)=\ldots=P^{(k-1)}(a)=0$ et $\rm P^{(k)}(a) \neq 0$.

Définition : On dit qu'un polynôme de $\rm {\Bbb K}[X]$ est scindé sur $\rm {\Bbb K}$ si toutes ses racines sont dans $\rm {\Bbb K}$ cela revient à dire qu'il est entièrement factorisable dans $\rm {\Bbb K}[X]$.

D'après un théorème tout polynôme de $\rm {\Bbb C}[X]$ est scindé dans $\rm {\Bbb C}$. Mais par exemple $\rm X^2+1$ n'est pas scindé dans $\rm {\Bbb R}$.

Soit $\rm P=a_0 + a_1X + \ldots + a_nX^n$ un polynôme de $\rm {\Bbb K}[X]$ de degré $\rm n$ donc $\rm a_n \neq 0$.

On suppose que $\rm P$ est scindé sur $\rm {\Bbb K}$ donc le polynôme $\rm P$ peut s'écrire $\rm P(X)$ $=\mathrm{a_n(X}-x_1)(\mathrm X-x_2) \ldots (\mathrm X-x_n)$ où $x_1,\ldots,x_n$ sont les racines de $\mathrm P$ (pas forcément distinctes).

On définit $\sigma_1 = x_1 + \ldots + x_{\mathrm n} = $ la somme des racines de $\rm P$ et $\sigma_{\mathrm n} =x_1 \ldots x_{\mathrm n}$ le produit ses racines de $\rm P$.

Formule à connaître : $\displaystyle \rm \sigma_1 = -\frac{a_{n-1}}{a_n}$ et $\displaystyle\rm \sigma_n=(-1)^n\frac{a_0}{a_n}$ autrement dit on a $\displaystyle\rm \sigma_1 = -\frac{\text{coeffficient devant }X^{\deg(P)-1}}{\rm{cd}(P)}$ avec ${\rm{cd}(P)}$ le coefficient dominant de $\rm P$.

Et $\displaystyle\rm \sigma_n = (-1)^{\deg(P)}\frac{\text{coeffficient constant }}{{\rm{cd}(P)}}$.

Cas particulier $\bf n=3$.

Soit $\rm P(X) = a_0+a_1X+a_2X^2+a_3X^3$ un polynôme de degré $3$ donc $\rm a_3 \neq 0$ que l'on suppose scindé donc il s'écrit aussi $\rm P(X)$ $= \mathrm a_3(\mathrm X-x_1)(\mathrm X-x_2)(\mathrm X-x_3)$.
(Ne pas oublier le facteur $\rm a_3$, c'est le coefficient dominant de $\rm P$).

En développant $\rm P(X)$ $= \mathrm a_3(\mathrm X-x_1)(\mathrm X-x_2)(\mathrm X-x_3)$, on retrouve les relations entre les coefficients et les racines d'un polynômes. A savoir :

$\displaystyle x_1+x_2+x_3 = - \frac{\rm a_2}{\rm a_3}$, $\displaystyle x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3 = \frac{\rm a_1}{\rm a_3}$ et $\displaystyle x_1x_2x_3 = -\frac{\rm a_0}{\rm a_3}$ (formules à savoir retrouver).