Raisonnons sur un exemple :
$\left\{
\begin{array}{lll}
x + y + z & = & 6 \\
-x + 3y + 7z & = & -10\\
x + 3y + 4z & = & 6\\
\end{array}
\right.$
Pour simplifier, on préfère travailler avec la matrice des coefficients et le second membre. On sépare les coefficients du second membre par une barre verticale. On se rappellera que la première colonne concerne l'inconnue $x$, la deuxième l'inconnue $y$ et la troisième l'inconnue $z$.
$\left(
\begin{array}{ccc|c}
1 & 1 & 1 & 6\\
-1 & 3 & 7 & -10\\
1 & 3 & 4 & 6\\
\end{array}
\right)$.
Les opérations utilisées pour la méthode du pivot de Gauss sont au nombre de $3$.
- On peut additionner à une ligne une autre ligne ou même une autre ligne multipliée par un nombre.
- On peut échanger deux lignes.
- On peut multiplier une ligne par un nombre non nul.
Ces opérations transforment un système linéaire en un autre système linéaire qui lui est équivalent c'est-à-dire que les deux auront le même ensemble de solution.
Attention : ne jamais faire des opérations sur les colonnes.
1ère étape. On va mettre des zéros en dessous du coefficient $\rm a_{1,1} = 1$ qui s'appelle un pivot.
Pour mettre ces zéros on fait les opérations : $\rm L_2 \leftarrow L_2+L_1$ et $\rm L_3 \leftarrow L_3-L_1$.
On obtient :
$\left(
\begin{array}{ccc|c}
1 & 1 & 1 & 6\\
0 & 4 & 8 & -4\\
0 & 2 & 3 & 0\\
\end{array}
\right)$.
2ème étape. On met des zéros en dessous du coefficient $\rm a'_{2,2}=4$.
Pour cela on fait les opérations $\rm L_3 \leftarrow 2L_3-L_2$.
On obtient :
$\left(
\begin{array}{ccc|c}
1 & 1 & 1 & 6\\
0 & 4 & 8 & -4\\
0 & 0 & -2 & 4\\
\end{array}
\right)$.
Le premier coefficient non nul en partant de la gauche de chaque ligne s'appelle un pivot. Le nombre de pivots est le rang du système ou le rang de la matrice $\rm A$.
Pour simplifier on peut diviser la ligne $2$ par $4$ et la ligne $3$ par $2$ :
$\left(
\begin{array}{ccc|c}
1 & 1 & 1 & 6\\
0 & 1 & 2 & -1\\
0 & 0 & -1 & 2\\
\end{array}
\right)$.
On revient au système avec les inconnues :
$\left\{
\begin{array}{lll}
x + y + z & = & 6 \\
y +2z & = & -1\\
-z & = & 2\\
\end{array}
\right.$
On obtient ce qui s'appelle un système triangulaire facile à résoudre en commençant par le dernière équation puis en remontant : $z=-2$ puis $y = -2z-1 = 4-1=3$ et $x = 6-y-z = 6-3+2 = 5$.
On a donc $\rm S = \{(5,3,-2)\}$.
On peut vérifier qu'en remplaçant $x$, $y$ et $z$ respectivement par $5,3,-2$ dans le système initial, cela convient.
Le rang de la matrice est $3$ (car on a $3$ pivots).