Valeurs et vecteurs propres

Soient $\rm E$ un $\mathbb K$-espace vectoriel non réduit à $\rm \{0_E\}$ et $\rm u$ un endomorphisme de $\rm E$.

• $x$ est vecteur propre de $u$ si : $x\neq 0_\rm E$ et il existe $\lambda \in \mathbb K$ tel que $u(x)=\lambda x$.
• $\lambda$ est valeur propre de $u$.

Le spectre de $u$ noté $\mathrm{Sp}(u)$ est l’ensemble des valeurs propres de $u$.
$\mathrm E_{\lambda}(u)=\rm \ker(u-\lambda Id_E)$ est le sous-espace propre associé à la valeur propre $\lambda$.

• Un endomorphisme $u\in \rm L(E)$ possède au plus $\rm \dim (E)$ valeurs propres.

• Les valeurs propres de $\rm A\in M_n(\mathbb K)$ sont les racines du polynôme caractéristique de $\rm A$ : 

$\rm \chi_A$ avec $\rm \chi_A(X)=\det(XI_n-A)$

• Le polynôme caractéristique de $A$ peut être calculé avec la formule suivante :

$\rm \chi_A(X)$ $\rm =X^n-tr(A)X^{n-1}+\ldots+(-1)^n \det(A)$

La trace de $\rm A$ ($\rm tr(A)$) est la somme des coefficients diagonaux.

Propriété :

Les valeurs propres complexes d’une matrice réelle sont deux à deux conjuguées.