Compacité

Soit $\mathrm{K}$ partie de $\mathrm{E}$, espace vectoriel normé.

Méthode 1 : Montrer que $\bf{K}$ est un compact

• Utiliser la définition :

$\mathrm{K}$ est un compact de $\mathrm{E}$ si toute suite d’éléments de $\mathrm{K}$ possède au moins une valeur d’adhérence dans $\mathrm{K}$ c’est-à-dire pour tout $\mathrm{(u_n)\in K^{\mathbb N}}$, il existe $\mathrm{\varphi:\mathbb N\to \mathbb N}$ strictement croissante telle que $\mathrm{u_{\varphi(n)}\to l\in K}$.

Remarques :

• $\mathrm{(u_{\varphi(n)})}$ est une suite extraite de $\mathrm{\mathrm{(u_n)}}$.
• Toute suite bornée d’éléments de $\mathbb K$ admet au moins une valeur d’adhérence.

• Reconnaître des compacts connus :

• Si $\mathrm{\mathrm{E=\mathbb R}}$, les intervalles $\mathrm{\mathrm{[a,b]}}$ sont des compacts.
• Si $\mathrm{\mathrm{E=\mathbb C}}$, les ensembles $\mathrm{\mathrm{\{z\in\mathbb C/|z|\leq R\}}}$ sont des compacts.

• Utiliser les propriétés sur les compacts :

• Toute partie compacte est fermée et bornée.
• Une intersection de deux parties compactes est un compact.
• Une réunion de deux parties compactes est un compact.

Soient $\mathrm{K_1}$ et $\mathrm{K_2}$ deux parties compactes des espaces normés $\mathrm{E_1}$ et $\mathrm{E_2}$.
$\mathrm{K_1\times K_2}$ est une partie compacte de $\mathrm{E_1\times E_2}$.

• Utiliser la dimension finie :

Théorème :

En dimension finie, une partie est compacte si et seulement si elle est fermée et bornée.

Méthode 2 : Utiliser les conséquences de la compacité

Théorème 1 :

Une suite bornée d’un espace normé de dimension finie converge si et seulement si elle a une unique valeur d’adhérence.

Théorème 2 :

Un sous-espace de dimension finie d’un espace normé est fermé.

Théorème 3 :

L’image d’une partie compacte par une application continue est une partie compacte.

Théorème 4 :

Toute fonction réelle définie et continue sur un compact non vide est bornée et atteint ses bornes.

Théorème de Heine :

Soit $f : \rm K\subset E\to F$.
Si $\mathrm{K}$ est une partie compacte et si $f$ est continue, alors $f$ est uniformément continue.

Remarque :

Une application $f : \rm K\subset E\to F$ est uniformément continue si pour tout $\epsilon >0$, il existe $\alpha>0$ tel que pour tous $x,y\in \rm K$, $\|y-x\|_\mathrm E\leq \alpha \Rightarrow \|f(y)-f(x)\|_\rm F\leq \epsilon$.