Soit $\mathrm{K}$ partie de $\mathrm{E}$, espace vectoriel normé.
Méthode 1 : Montrer que $\bf{K}$ est un compact
- Utiliser la définition :
$\mathrm{K}$ est un compact de $\mathrm{E}$ si toute suite d’éléments de $\mathrm{K}$ possède au moins une valeur d’adhérence dans $\mathrm{K}$ c’est-à-dire pour tout $\mathrm{(u_n)\in K^{\mathbb N}}$, il existe $\mathrm{\varphi:\mathbb N\to \mathbb N}$ strictement croissante telle que $\mathrm{u_{\varphi(n)}\to l\in K}$.
Remarques :
- $\mathrm{(u_{\varphi(n)})}$ est une suite extraite de $\mathrm{\mathrm{(u_n)}}$.
- Toute suite bornée d’éléments de $\mathbb K$ admet au moins une valeur d’adhérence.
- Reconnaître des compacts connus :
- Si $\mathrm{\mathrm{E=\mathbb R}}$, les intervalles $\mathrm{\mathrm{[a,b]}}$ sont des compacts.
- Si $\mathrm{\mathrm{E=\mathbb C}}$, les ensembles $\mathrm{\mathrm{\{z\in\mathbb C/|z|\leq R\}}}$ sont des compacts.
- Utiliser les propriétés sur les compacts :
- Toute partie compacte est fermée et bornée.
- Une intersection de deux parties compactes est un compact.
- Une réunion de deux parties compactes est un compact.
Soient $\mathrm{K_1}$ et $\mathrm{K_2}$ deux parties compactes des espaces normés $\mathrm{E_1}$ et $\mathrm{E_2}$.
$\mathrm{K_1\times K_2}$ est une partie compacte de $\mathrm{E_1\times E_2}$.
- Utiliser la dimension finie :
Théorème :
En dimension finie, une partie est compacte si et seulement si elle est fermée et bornée.
Méthode 2 : Utiliser les conséquences de la compacité
Théorème 1 :
Une suite bornée d’un espace normé de dimension finie converge si et seulement si elle a une unique valeur d’adhérence.
Théorème 2 :
Un sous-espace de dimension finie d’un espace normé est fermé.
Théorème 3 :
L’image d’une partie compacte par une application continue est une partie compacte.
Théorème 4 :
Toute fonction réelle définie et continue sur un compact non vide est bornée et atteint ses bornes.
Théorème de Heine :
Soit $f : \rm K\subset E\to F$.
Si $\mathrm{K}$ est une partie compacte et si $f$ est continue, alors $f$ est uniformément continue.
Remarque :
Une application $f : \rm K\subset E\to F$ est uniformément continue si pour tout $\epsilon >0$, il existe $\alpha>0$ tel que pour tous $x,y\in \rm K$, $\|y-x\|_\mathrm E\leq \alpha \Rightarrow \|f(y)-f(x)\|_\rm F\leq \epsilon$.