Compléments sur les fonctions réelles de n variables

Soit $\Omega\subset \rm \mathbb R^n$.

1) Fonctions de classe $\bf C^2$

Définition :

Soit $f : \Omega\subset \rm \mathbb R^n\to \mathbb R$.
$f$ est de classe $\rm C^2$ si ses dérivées partielles d'ordre $\rm 2$ existent et sont continues.

Les fonctions polynomiales de $\rm n$ variables sont de classe $\rm C^2$ sur $\rm \mathbb R^n$.

Théorème :

Soient $f,g : \Omega\subset \rm \mathbb R^n\to \mathbb R$ et $\alpha,\beta\in\mathbb R$.

Si $f$ et $g$ sont de classe $\rm C^2$, $\alpha f + \beta g$ est de classe $\rm C^2$.

Théorème :

Soit $f : \Omega\subset \rm \mathbb R^n \to \mathbb R$.

Les propriétés suivantes sont équivalentes :

• $f$ est de classe $\rm C^2$
• Les fonctions coordonnées de $f$ dans une base de $\rm \mathbb R$ sont de classe $\rm C^2$

Théorème :

Soient $f : \Omega\subset \rm \mathbb R^n \to \rm \mathbb R$ et $g : \Omega'\subset \mathbb R \to \mathbb R$ avec $f(\Omega)\subset \Omega'$.
Si $f$ et $g$ sont de classe $\rm C^2$ alors $g\circ f$ est de classe $\rm C^2$.

Théorème de Schwarz :

Soit $f : \Omega\subset \rm \mathbb R^n \to \rm \mathbb R$.
Si $f$ est de classe $\rm C^2$, pour tous $\rm i,~j\in \{1,\dots,n\}$,
$\displaystyle\frac{\partial^2 f}{\partial x_{\mathrm i} \partial x_{\mathrm j}}=\frac{\partial^2 f}{\partial x_{\mathrm j}\partial x_{\rm i}}$

Théorème :

Soit $f : \Omega\subset \rm \mathbb R^n \to \rm \mathbb R$ de classe $\rm C^2$.
Il existe un unique développement limité d’ordre $2$ de $f$:
$f(x+h)=f(x)+(\nabla(f)(x)|h)+\displaystyle \frac{1}{2}\mathrm q_x(h)+||h||^2\epsilon(h)$
Où $\epsilon(0)=0$, $\epsilon$ est continue en 0 et $\mathrm q_x$ est la forme quadratique associée à $\nabla^2(f)(x)$ la matrice hessienne de $f$ au point $x$ : $\nabla^2(f)=\displaystyle\frac{\partial^2 f}{\partial x_{\rm i}\partial x_{\rm j}}$.

2) Recherche d’extrema

Théorème :

Une fonction continue sur une partie fermée bornée de $\rm \mathbb R^n$ admet un maximum global et un minimum global.

Théorème :

Soit $f : \Omega\subset \rm \mathbb R^n \to \mathbb R$ de classe $\rm C^1$.
Si $f$ admet un extremum local en $x_0\in\Omega$ alors $\nabla(f)(x_0)=0$, donc $x_0$ est un point critique de $f$.

Remarque :

Soit $f : \rm \Omega\subset \mathbb R^n \to \mathbb R$.
$f$ admet un minimum local en $x_0\in\Omega$ s'il existe $\alpha>0$, tel que pour tout $x\in \Omega \cap \mathrm B(x_0,\alpha)$, $f(x)\geq f(\rm x_0)$.

Théorème :

Soit $f : \Omega\subset \rm \mathbb R^n \to \mathbb R$ de classe $\rm C^2$.

Si $x_0$ est un point critique de $f$ : 

• Si $\mathrm{Sp}(\nabla^2(f)(x_0)) \subset \mathbb R^{*+}$, alors $f$ admet un minimum local en $x_0$.
• Si $\mathrm{Sp}(\nabla^2(f)(x_0)) \subset \mathbb R^{*-}$, alors $f$ admet un maximum local en $x_0$.
• Si $\mathrm{Sp}(\nabla^2(f)(x_0))$ contient deux réels non nuls de signes distincts, $f$ n’admet pas d’extremum en $x_0$.

Définition :

Soit $f : \rm \Omega\subset \mathbb R^n \to \mathbb R$ de classe $\rm C^2$.
$x_0$ est un point col, ou point selle si $x_0$ est un point critique mais $f$ ne présente pas d'extrémum local en $x_0$.