Couples de variables aléatoires

1. Couples de variables aléatoires discrètes finies

Définitions :

Soient $\rm X$ et $\rm Y$ deux variables aléatoires discrètes définies sur $(\Omega, \mathcal{A}, \rm P)$ à valeurs respectivement dans les ensembles $\rm E$ et $\rm F$.

Le couple de variables aléatoires $\rm Z=(X,Y):\Omega \to E\times F$ vérifie pour tout $w\in \Omega$, $\mathrm Z(w)=(\mathrm X(w),\mathrm Y(w))$.

La loi conjointe des variables aléatoires $\rm X$ et $\rm Y$ est la loi du couple $\rm Z=(X,Y)$.

Les lois des deux variables aléatoires $\rm X$ et $\rm Y$ sont les lois marginales de la variable $\rm Z$.

Définition :

Soit $x\in \rm X(\Omega)$.

La loi conditionnelle de $Y$ sachant $\mathrm X=x$ est la loi de la variable aléatoire $Y$ pour la probabilité conditionnelle $\mathrm{P(\cdot|X}=x)$ : pour tout $\rm B\subset Y(\Omega)$,

$\mathrm{P(Y\in B|X}= x)= \left\{\begin{array}{ll}\frac{\mathrm{P((Y\in B),(X} = x))}{\mathrm{P(X}=x)} \text{ si } \mathrm{P(X}=x)>0 \\ 0 \text{ sinon } \end{array}\right.$

Définition :

Soient $\rm X$ et $\rm Y$ deux variables aléatoires discrètes définies sur $(\Omega, \mathcal{A}, \rm P)$.

Les variables $\rm X$ et $\rm Y$ sont indépendantes si :

• Pour tous $\rm A\subset X(\Omega)$ et $\rm B\subset Y(\Omega)$, les événements $\rm (X\in A)$ et $\rm (Y\in B)$ sont indépendants.
• Ou de façon équivalente :
  Pour tout $(x,y)\in \rm X(\Omega)\times Y(\Omega)$, $\mathrm{P(X}=x,\mathrm Y=y)=\mathrm{P(X}=x)\mathrm{P(Y}=y)$.

Théorème :

Si $\rm X$ et $\rm Y$ sont deux variables indépendantes, alors pour toutes fonctions $f,g$ définies sur les domaines de valeurs de $\rm X$ et $\rm Y$, les variables $f(\mathrm X)$ et $g(\mathrm Y)$ sont indépendantes.

Propriété :

Soient $\rm X,Y$ variables aléatoires réelles discrètes définies sur $(\Omega, \mathcal{A}, \rm P)$.

Si $\rm X$ et $\rm Y$ sont indépendantes, $\rm XY$ admet une espérance et $\rm E(XY)=E(X)E(Y)$.

2. Couples de variables aléatoires réelles à densité

Définition :

Soient $\rm X$ et $\rm Y$ deux variables aléatoires réelles à densité définies sur $(\Omega, \mathcal{A}, \rm P)$.
Les variables $\rm X$ et $\rm Y$ sont indépendantes si :

• Pour tous $\rm A\subset X(\Omega)$ et $\rm B\subset Y(\Omega)$, les événements $\rm (X\in A)$ et $\rm (Y\in B)$ sont indépendants.
• Ou de façon équivalente :
  Pour tout $(x,y)\in \rm X(\Omega)\times Y(\Omega)$, $\mathrm{P(X}\leq x,\mathrm Y\leq y)=\mathrm{P(X} \leq x)\mathrm{P(Y}\leq y)$.

Définition :

Soit la variable aléatoire somme $\rm Z = X + Y$ avec $\rm X,Y$ deux variables aléatoires à densité (de densité $f_{\rm X}$ et $f_{\rm Y}$) indépendantes.

Soit $h$ définie par $\displaystyle h(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}f_{\rm X}(t)f_{\rm Y}(x-t)\mathrm dt$.

Si la fonction $h$ est définie et continue sauf peut-être en un nombre fini de points, $h$ est une densité de $\rm Z$.

$h$ est le produit de convolution de $f_{\rm X}$ et $f_{\rm Y}$ : $f\star f_{\rm Y}$.

Propriété :

Soit $\rm X$ et $\rm Y$ deux variables aléatoires à densité indépendantes admettant une espérance.

Si $\rm X$ et $\rm Y$ sont indépendantes, $\rm XY$ admet une espérance et $\rm E(XY)=E(X)E(Y)$.