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Déterminant d'une matrice

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Calcul du déterminant d’une matrice carrée A = (a_{i,j})

  • Déterminant d’ordre $2$ : $\rm \left|\begin{array}{ll} a & b\\ c & d\end{array}\right|= ad-bc$
  • Déterminant d’ordre $3$ : règle de Sarrus.
  • Déterminant par développement suivant une ligne ou une colonne, par exemple suivant la ligne $i$ : $\displaystyle\det(A)=\sum_{j=1}^n a_{i,j}(-1)^{i+j}\det(A_{i,j})$

Où $\mathrm A_{i,j}$ est la matrice obtenue à partir de $\rm A$ en enlevant la $i^{\rm ème}$ ligne et la $j^{\rm ème}$ colonne.

  • Matrice triangulaire :
    Le déterminant est égal au produit des coefficients de la diagonale.
  • Transposée de matrices : $\rm \det(^tA)=\det(A)$
  • Produit de matrices : $\rm \det(AB)$ $\rm =\det(A)\det(B)$ et $\rm \det(\lambda A)$ $\rm =\lambda^n \det(A)$

Inverser une matrice

Matrice inversible :

$\rm A$ est inversible si et seulement si $\rm \det(A)\neq 0$. Dans ce cas $\displaystyle \rm \det(A^{-1})=\frac{1}{\det(A)}$

  • Si $\rm A$ est inversible, $\displaystyle\rm A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}^t(Com(A))$.

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