Endomorphismes et matrices diagonalisables

Soient $\rm E$ un $\mathbb K$-espace vectoriel non réduit à $\rm \{0_E\}$ et $u$ un endomorphisme de $\rm E$ ($u\in\mathcal L\rm (E)$).

Méthode 1 : Savoir si un endomorphisme $u\in \mathcal L\rm (E)$ est diagonalisable

• Avec la définition :

Un endomorphisme $u$ est diagonalisable s’il existe une base de $\rm E$ dans laquelle sa matrice est diagonale. Cette base est appelée base de diagonalisation de $u$ ou base propre de $u$.

• En utilisant le théorème suivant :

Soit $u\in \mathcal L\rm (E)$. Il y a équivalence entre les propositions suivantes :

• • $u$ est diagonalisable.
  • Il existe une base de $\rm E$ formée de vecteurs propres de $u$.
  • $\rm E$ est la somme directe des sous-espaces propres de $u$ c’est-à-dire $\mathrm E=\displaystyle\oplus_{\lambda \in \mathrm{Sp}(u)} \rm E_{\lambda}(u)$
  • $\displaystyle \sum_{\lambda \in \mathrm{Sp}(u)}\dim \mathrm E_{\lambda}(u)= \rm \dim E$
• Théorème : Un projecteur et une symétrie sont des endomorphismes diagonalisables.
• Théorème : Un endomorphisme de $\rm E$ admettant $\rm n$ valeurs propres distinctes est diagonalisable.

Méthode 2 : Savoir si une matrice $\rm A\in M_n(\mathbb K)$ est diagonalisable

• Avec la définition :

Une matrice $\rm A\in M_n(\mathbb K)$ est diagonalisable si elle est semblable à une matrice diagonale c’est-à-dire s’il existe $\rm P\in GL_n(\mathbb K)$ et $\rm D\in D_n(\mathbb K)$ telles que $\rm P^{-1}AP=D$.

• En utilisant le lien avec l’endomorphisme :

Soit $\rm A$ la matrice d’un endomorphisme $u$ dans une base de $\rm E$. 

Il y a équivalence entre les propositions suivantes :

• • $\rm A$ est diagonalisable
  • $u$ est diagonalisable
• Théorème : Si $\rm A\in M_n(\mathbb K)$ admet $\rm n$ valeurs propres distinctes alors $\rm A$ est diagonalisable et ses sous-espaces propres sont des droites vectorielles.

Méthode 3 : Trigonalisation

• Avec les définitions :
• • Un endomorphisme $u$ de $\rm E$ est trigonalisable s’il existe une base de $\rm E$ dans laquelle la matrice de $u$ est triangulaire supérieure.
    Cette base est appelée base de trigonalisation de l’endomorphisme $u$.
  • Une matrice $\rm A\in M_n(\mathbb K)$ est trigonalisable si elle est semblable à une matrice triangulaire supérieure.
  • Soit $\rm A$ matrice d’un endomorphisme $u$ dans une base de $\rm E$. Il y a équivalence entre « $\rm A$ est trigonalisable » et « $u$ est trigonalisable ».
• Théorème : Un endomorphisme $u$ est trigonalisable si et seulement si son polynôme caractéristique $\chi_u$ est scindé dans $\rm \mathbb K[X]$.
• Théorème : Si $\rm A$ est trigonalisable, son déterminant est égal au produit de ses valeurs propres (où chaque valeur propre est répétée autant de fois que sa multiplicité) et sa trace est égale à la somme de ses valeurs propres (où chaque valeur propre est répétée autant de fois que sa multiplicité).