Définition : Un ensemble $\mathcal E$ est un espace affine s’il existe un espace vectoriel $\rm E$ et une application de $\mathcal E \times \rm E$ dans $\mathcal E$ qui au point $\rm A$ et au vecteur $\vec u$ associe $\mathrm A+\vec u$ tel que :

  • $\rm \forall A\in\mathcal E$, $\forall \vec u, \vec v\in\rm E$, $(\mathrm A+\vec u)+\vec v=\mathrm A+(\vec u+\vec v)$
  • $\rm \forall (A,B)\in \mathcal E^2$, il existe un unique $\vec u \in \rm E$ tel que $\mathrm A+\vec u=\rm B$

$\rm E$ est appelé direction de l’espace affine $\mathcal E$, que l’on peut aussi noter $\vec{\mathcal E}$.

Définition : Une partie $\rm F$ d’un espace affine $\rm E$ est un sous-espace affine s’il est vide ou s’il contient un point $\rm A$ tel que $\rm \vec{F}=\{\vec{AB}~ ; B\in F\}$ est un sous-espace vectoriel de $\rm E$.

Propriété : Soit $\rm F$ un sous-espace affine de $\rm E$.
$\rm F$ s’écrit de façon unique $\mathrm F=\{\mathrm A+\vec x/\vec x\in \vec{\rm F}\}=\rm A+\vec F$ avec $\rm A$ un point de $\rm E$ et $\vec F$ direction de $\rm F$ sous-espace vectoriel de $\rm E$.

Définitions :

  • La dimension du sous-espace affine $\rm F$ est la dimension de $\rm \vec F$.
  • Les sous-espaces affines de dimension $0$ sont les points.
  • Les sous-espaces affines de dimension $1$ sont les droites (affines).
  • Les sous-espaces affines de dimension $2$ sont les plans (affines).

Définition : Soit $\rm E$ et $\rm F$ deux espaces affines de direction respectives $\rm \vec E$ et $\rm \vec F$. Soit $f : \rm E\to F$.
$f$ est une application affine si et seulement s’il existe une application linéaire $\vec f: \rm \vec E\to \vec F$ tel que pour tous $\rm A,B\in E$, $f(\mathrm B)=f(\mathrm A)+\vec{f}(\rm \overrightarrow{AB})$.
$\vec{f}$ est la partie linéaire de $f$ (ou application linéaire associée à $f$).

L’ensemble des applications affines de $\rm E$ dans $\rm F$ est noté $\rm Aff(E,F)$.

Propriété : L’ensemble des applications affines de $\rm E$ dans $\rm E$ qui sont des bijections (c’est-à-dire des automorphismes affines de $\rm E$) est un groupe pour la loi de composition des applications appelé groupe affine de $\rm E$, noté $\rm GA(E)$.

Définition : Soit $\rm E$ un espace affine de direction $\rm \vec{E}$.
Pour tout $\vec{u}$ de $\rm E$, on définit une translation de vecteur $\vec{u}$, notée $t_{\vec{u}}$ l’application $\rm E\to E$ tel que $t_{\vec{u}}\mathrm{(M)=M}+\vec{u}$.
$\mathrm M+\vec{u}$ est l’unique point de $\rm E$ tel que $\vec{\rm MN}=\vec{u}$.

Propriété : Une application est une translation $f : \rm E\to E$ si et seulement si $f$ est affine et $\vec{f}=\rm Id_{\vec{E}}$.

Propriété :

  • $\forall (\vec{u},\vec{v})\in \rm \vec{E}^2$, $t_{\vec{u}}\circ t_{\vec{v}}=t_{\vec{u}+\vec{v}}$
  • $\forall \vec{u} \in \rm \vec{E}$, $t_{\vec{u}}\in \rm GA(E)$ et $(t_{\vec{u}})^{-1}=t_{-\vec{u}}$

Définition : Soit $\Omega\in \rm E$ et $k\in \mathbb R^{*}$
On définit une homothétie de centre $\Omega$ et de rapport $k$, notée $h_{\Omega, k}$, l’application $\rm E\to E$ tel que $h_{\Omega, k}\rm (M)=M’$ où $\rm \forall M\in E$, $\vec{\Omega \mathrm M’}=k\vec{\Omega \rm M}$.

Propriété : Une application $f : \rm E\to E$ est une homothétie si et seulement si :

  • $f$ est affine
  • $f$ admet au moins un point fixe
  • Il existe $k\in\mathbb R^{*}$ tel que $\vec{f}=k \rm Id_E$

Propriété : Soit $\Omega\in E$.

  • $\forall (k,k’)\in (\mathbb R^{*})^2$, $h_{\Omega,k}\circ h_{\Omega,k’}= h_{\Omega,kk’}$
  • $\forall k\in \mathbb R^*$, $h_{\Omega,k}\in \rm GA(E)$ et $(h_{\Omega,k})^{-1}= h_{\Omega,k^{-1}}$