Définition : Un ensemble E est un espace affine s’il existe un espace vectoriel E et une application de E×E dans E qui au point A et au vecteur →u associe A+→u tel que :

  • ∀A∈E, ∀→u,→v∈E, (A+→u)+→v=A+(→u+→v)
  • ∀(A,B)∈E2, il existe un unique →u∈E tel que A+→u=B

E est appelé direction de l’espace affine E, que l’on peut aussi noter →E.

Définition : Une partie F d’un espace affine E est un sous-espace affine s’il est vide ou s’il contient un point A tel que →F={→AB ;B∈F} est un sous-espace vectoriel de E.

Propriété : Soit F un sous-espace affine de E.
F s’écrit de façon unique F={A+→x/→x∈→F}=A+→F avec A un point de E et →F direction de F sous-espace vectoriel de E.

Définitions :

  • La dimension du sous-espace affine F est la dimension de →F.
  • Les sous-espaces affines de dimension 0 sont les points.
  • Les sous-espaces affines de dimension 1 sont les droites (affines).
  • Les sous-espaces affines de dimension 2 sont les plans (affines).

Définition : Soit E et F deux espaces affines de direction respectives →E et →F. Soit f:E→F.
f est une application affine si et seulement s’il existe une application linéaire →f:→E→→F tel que pour tous A,B∈E, f(B)=f(A)+→f(→AB).
→f est la partie linéaire de f (ou application linéaire associée à f).

L’ensemble des applications affines de E dans F est noté Aff(E,F).

Propriété : L’ensemble des applications affines de E dans E qui sont des bijections (c’est-à-dire des automorphismes affines de E) est un groupe pour la loi de composition des applications appelé groupe affine de E, noté GA(E).

Définition : Soit E un espace affine de direction →E.
Pour tout →u de E, on définit une translation de vecteur →u, notée t→u l’application E→E tel que t→u(M)=M+→u.
M+→u est l’unique point de E tel que →MN=→u.

Propriété : Une application est une translation f:E→E si et seulement si f est affine et →f=Id→E.

Propriété :

  • ∀(→u,→v)∈→E2, t→u∘t→v=t→u+→v
  • ∀→u∈→E, t→u∈GA(E) et (t→u)−1=t−→u

Définition : Soit Ω∈E et k∈R∗
On définit une homothétie de centre Ω et de rapport k, notée hΩ,k, l’application E→E tel que hΩ,k(M)=M′ où ∀M∈E, →ΩM′=k→ΩM.

Propriété : Une application f:E→E est une homothétie si et seulement si :

  • f est affine
  • f admet au moins un point fixe
  • Il existe k∈R∗ tel que →f=kIdE

Propriété : Soit Ω∈E.

  • ∀(k,k′)∈(R∗)2, hΩ,k∘hΩ,k′=hΩ,kk′
  • ∀k∈R∗, hΩ,k∈GA(E) et (hΩ,k)−1=hΩ,k−1