Soit E={1,,n}.

Définition :

Une permutation de E est une bijection de E dans E.

L’ensemble des permutations de E est noté Sn. Cet ensemble, muni de la loi de composition des applications est un groupe d’élément neutre l’identité Id, appelé groupe symétrique d’ordre n sur l’ensemble E.

Propriété : Si σSn, on note : σ=(1nσ(1)σ(n)).

Propriété : |Sn|=n!

Définition : Soit σSn. L’ensemble supp(σ)={i/σ(i)i} est le support de σ.

Définition : Soit σSn. σ est un cycle de longueur 2 s’il existe éléments distincts a1,,a de E tels que σ(a1)=a2,,σ(a1) =a, σ(a)=a1 et σ(x)=x pour tout xE{a1,,a}.
On peut alors utiliser la notation cyclique σ=(a1a2a).

Remarque : un cycle de longueur 2 est appelé une transposition.

Théorème : Soit σSn tel que σId.

Il existe k1 et c1,,ck des cycles à supports deux à deux disjoints tels que σ=c1ck.

Cette décomposition est unique à l’ordre près des facteurs et est appelée décomposition canonique de σ.

Remarque : en général, on n’indique pas les cycles de longueur 1 dans l’écriture de σ en produit de cycles.

Théorème : Soit σSn{id} de décomposition canonique c1ck.

L’ordre de σ est le PPCM des longueurs des cycles ci.