Méthode 1 : Montrer que ($\bf{G, \star}$), avec $\bf G$ un ensemble et $\star$ une loi de composition interne, est un groupe.
- Utiliser la définition d’un groupe :
$\star$ est associative : pour tous $\rm a, b, c \in G$, $\rm (a \star b) \star c= a \star (b \star c)$
$\star$ possède un élément neutre unique : il existe $\rm e\in G$, tel que pour tout $\rm a\in G$, $\rm a \star e = a = e \star a$
Tout élément de $\rm G$ est symétrisable par $\star$ : pour tout $\rm a \in G$, il existe $\rm b \in G$ tel que $\rm a \star b= e =b \star a$. $\rm b$ est unique et appelé symétrique de $\rm a$ noté $\rm a^{-1}$.
Le symétrique est aussi appelé inverse de $\rm a$. Si la loi est notée $+$, le symétrique est appelé opposé et noté $-x$.
- Identifier $\bf G$ comme un produit de groupes :
Soient $\rm (G_1,\star_1),\ldots,(G_n,\star_n)$ des groupes avec pour éléments neutres $\rm e_1,\ldots,e_n$, alors $\rm G=G_1 \times \ldots \times G_n$ muni de la loi produit $\star$ (définie par $(x_1,\ldots,x_\mathrm n) \star (y_1,\ldots,y_\mathrm n)=(x_1\star y_1,\ldots,x_\mathrm n\star y_\mathrm n)$) est un groupe de neutre $\rm e=(e_1,\ldots,e_n)$.
- Identifier $\bf G$ comme un groupe connu :
Les groupes $(\mathbb C,+)$, $(\mathbb R, +)$, $(\mathbb Z, +)$ sont des groupes abéliens (commutatifs) de neutre $0$.
Les groupes $(\mathbb C^*,\times)$, $(\mathbb R^*,\times)$ sont des groupes abéliens de neutre $1$.
Le groupe $\rm (\mathbb Z/n\mathbb Z,+)$ est un groupe abélien de neutre $\bar{0}$.
- Identifier $\bf G$ comme le sous-groupe d’un groupe :
Soit $\rm (H,\star)$ un groupe.
Si $\rm G$ est un sous-groupe de $\rm (H,\star)$, alors $\rm (G,\star)$ est un groupe de même neutre.
Remarque :
$\rm G$, partie de $\rm H$, est un sous-groupe de $\rm (H,\star)$ si :
- $\rm e\in G$
- Pour tous $x,y \in \rm G$, $x\star y^{-1}\in \rm G$
Remarque :
Les sous-groupes de $(\mathbb Z,+)$ sont les $\rm n\mathbb Z$ avec $\rm n\in \mathbb N$.
Méthode 2 : Montrer que $\varphi$ est un morphisme avec $\bf{\varphi : G \to G’}$ et $\bf{(G, \star)}$ et $\bf{(G’, T)}$ deux groupes.
- Utiliser la définition d’un morphisme :
Pour tous $x,y \in \rm G$, $\varphi(x\star y)=\varphi(x)\mathrm T\varphi(y)$.
Remarques :
Un morphisme d’un groupe vers lui-même est appelé endomorphisme.
Un isomorphisme de groupes est un morphisme bijectif.
- Identifier une composition de morphismes :
Soient $\varphi : \rm G\to G’$ et $\psi : \rm G’\to G’’$ deux morphismes de groupes.
Alors $\psi \circ \varphi : \rm G \to G''$ est un morphisme de groupes.
- Identifier des morphismes connus :
- La fonction $\ln$ est un morphisme de $(\mathbb R^{+*},\times)$ vers $(\mathbb R,+)$
- Le déterminant est un morphisme de $\rm (GL_n(\mathbb K),\times)$ vers $(\mathbb K^*,\times)$
Méthode 3 : Etudier le noyau et l’image d’un morphisme.
Soit $\varphi : \rm (G,\star)\to (G’,T)$ un morphisme de groupes.
$\rm \ker \varphi=\varphi^{-1}(\{e’\})\\ Im \varphi =\varphi(G)$
Remarque :
- $\ker \varphi$ est un sous-groupe de $\rm (G,\star)$ et $\rm Im \varphi$ est un sous-groupe de $\rm (G’,T)$.
- $\varphi$ est injectif si et seulement si $\rm \ker \varphi=\{e\}$
- $\varphi$ est surjectif si et seulement si $\rm Im \varphi=G’$
