Logique

Définitions : Une proposition notée $\rm P$ est un énoncé mathématique qui a une unique valeur : vraie ou fausse.

La négation de la proposition $\rm P$ est la proposition qui est vraie si et seulement si $\rm P$ est fausse. On la note $\text{non P}$.

Définitions : Soient $\rm P$ et $\rm Q$ deux propositions.

• $\rm P\text{ et }Q$ est la proposition qui est vraie si et seulement si les propositions $\rm P$ et $\rm Q$ sont toutes les deux vraies.
• $\rm P\text{ ou }Q$ est la proposition qui est vraie si et seulement si au moins une des deux propositions $\rm P$ ou $\rm Q$ est vraie.

Remarque : On peut résumer cela dans des tables de vérité ($\rm V$ pour Vrai et $\rm F$ pour Faux).

Par exemple, voici celle du $\text{non P}$ et celle de $\rm P\text{ et }Q$.

Propriétés :

• $\text{Non (P et Q)}$ $= (\text{Non P}) \text{ ou (Non Q)}$
• $\text{Non (P ou Q)}$ $= (\text{Non P}) \text{ et (Non Q)}$

Définitions :

L’implication $\rm P\Rightarrow Q$ (on dit que $\rm P$ implique $\rm Q$) est la proposition $(\text{Non P) ou Q}$.

L’équivalence $\rm P\Leftrightarrow Q$ est vraie lorsque $\rm P\Rightarrow Q$ et $\rm Q\Rightarrow P$ sont vraies en même temps (on dit que $\rm P$ et $\rm Q$ sont équivalentes).

Définitions : Quantificateurs

• $\forall x$ se lit « quel que soit $x$ » ou « pour tout $x$ ».
• $\exists$ se lit « il existe »
• $\exists !$ se lit « il existe un unique »

Exemple : $\forall x\in \rm E$, $\exists! y\in f(\rm E)$ se lit : « Pour tout $x$ appartenant à $\rm E$, il existe un unique $y$ appartenant à $f(\rm E)$.

Remarque : la négation de $\forall$ est $\exists$.