Définition :

Soit B événement de Ω tel que P(B)>0.

Pour tout A événement de Ω, la probabilité de A sachant B (probabilité conditionnelle) est :

PB(A)=P(A|B)=P(AB)P(B)

Théorème :

Soient A,B deux événements de Ω.

P(AB)=P(A|B)×P(B)

Théorème : Formule de Bayes

Si A et B sont deux événements de probabilités non nulle :

P(A|B)=P(B|A)×P(A)P(B)

Définition :

Deux événements A,B sont indépendants si P(AB)=P(A)P(B).

Remarque :

  • Si P(B)>0, A et B sont indépendants si P(A|B)=P(A).
  • Deux événements qui ne sont pas indépendants, sont dits liés.

Théorème :

Si A et B sont indépendants :

  • A et ˉB sont indépendants.
  • ˉA et B sont indépendants.
  • ˉA et ˉB sont indépendants.

Théorème : Formule des probabilités totales

Par lecture de l’arbre des probabilités, on retrouve la formule des probabilités totales :

P(B) =P(A)×P(B/A)+P(ˉA)×P(B/ˉA).

Plus généralement, si A1,,An est un système complet d’événements (pour tous i,j1,,n avec ij, AiAj= et ni=1Ai=Ω), alors pour tout événenement BΩ, P(B)=ni=1P(BAi).