Définition :
Soit B événement de Ω tel que P(B)>0.
Pour tout A événement de Ω, la probabilité de A sachant B (probabilité conditionnelle) est :
PB(A)=P(A|B)=P(A∩B)P(B)
Théorème :
Soient A,B deux événements de Ω.
P(A∩B)=P(A|B)×P(B)
Théorème : Formule de Bayes
Si A et B sont deux événements de probabilités non nulle :
P(A|B)=P(B|A)×P(A)P(B)
Définition :
Deux événements A,B sont indépendants si P(A∩B)=P(A)P(B).
Remarque :
- Si P(B)>0, A et B sont indépendants si P(A|B)=P(A).
- Deux événements qui ne sont pas indépendants, sont dits liés.
Théorème :
Si A et B sont indépendants :
- A et ˉB sont indépendants.
- ˉA et B sont indépendants.
- ˉA et ˉB sont indépendants.
Théorème : Formule des probabilités totales
Par lecture de l’arbre des probabilités, on retrouve la formule des probabilités totales :
P(B) =P(A)×P(B/A)+P(ˉA)×P(B/ˉA).
Plus généralement, si A1,…,An est un système complet d’événements (pour tous i,j∈1,…,n avec i≠j, Ai∩Aj=∅ et ⋃ni=1Ai=Ω), alors pour tout événenement B∈Ω, P(B)=n∑i=1P(B∩Ai).