1) Produits scalaires

Définitions :

Un R-espace vectoriel E muni d’un produit scalaire s’appelle un espace préhilbertien.

Si E est de dimension finie, E est appelé espace euclidien.

On suppose dans la suite que E est un espace préhilbertien.

Définition :

Un produit scalaire φ sur E est une application de E×E dans R vérifiant :

  • Pour tout (x,y,z)E3, pour tout λR, φ(λx+y,z)=λφ(x,z)+φ(y,z) (φ est linéaire à gauche)
  • Pour tout (x,y,z)E3, pour tout λR, φ(x,λy+z)=λφ(x,y)+φ(x,z) (φ est linéaire à droite)
  • Pour tout (x,y)E2, φ(x,y)=φ(y,x) (φ est symétrique)
  • Pour tout xE, φ(x,x)0 (φ est positive)
  • Pour tout xE, φ(x,x)=0x=0E (φ est définie)

Un produit scalaire est donc une forme bilinéaire symétrique, définie positive.
Notation usuelle du produit scalaire : φ=(|)

Exemples :

  • Produit scalaire canonique sur Rn

Pour x=(x1,,xn) et y=(y1,,yn), (x|y)=nk=1xkyk

  • Sur C([a,b]), (f|g)=baf(t)g(t)dt

Définition :

Norme associée au produit scalaire |||| : pour tout xE, x=(x|x).

C’est une norme car elle vérifie :

  • Pour tout xE, x0 (avec égalité si et seulement si x=0)
  • Pour tout xE, pour tout λR, λx=|λ|×x
  • Pour tous x,yE, x+yx+y.

Théorème : Inégalité triangulaire

Pour tous x,yE, x+yx+y avec égalité si et seulement si x=0 ou s’il existe λR+ tel que y=λx (x et y sont dits positivement liés).

Théorème : Inégalité de Cauchy-Schwarz

Pour tout (x,y)E2, |(x|y)|||x||×||y||

Il y a égalité si et seulement si (x,y) est liée.

Définition : soit (x,y)E2,

Les vecteurs x et y sont orthogonaux si (x|y)=0. On note xy.

Théorème de Pythagore :

Soit (x,y)E2 :

  • x+y2=x2+y2+2(x|y)
  • x et y sont orthogonaux si et seulement si x+y2=x2+y2

2) Familles orthogonales

Définition :

Soit (xi)i une famille d’éléments de E.

  • (xi)i est une famille orthogonale de E si les éléments de la famille sont deux à deux orthogonaux
  • (xi)i est une famille orthonormale ou orthonormée de E si les éléments de la famille sont unitaires ou normés (||xi||=1) et deux à deux orthogonaux.

Propriété : Toute famille orthogonale ne contenant pas le vecteur nul est libre.

Propriété :

Si (x1,,xn) est une famille orthogonale, on a la relation de Pythagore : nk=1xk2=nk=1xk2.

Procédé d’orthonormalisation :

Si (x1,,xn) est une famille libre de E, il existe une unique famille orthonormale (e1,,en) vérifiant :

  • Pour tout k=1,,n, Vect(e1,,en) =Vect(x1,,xn)
  • Pour tout k=1,,n, (ek|xk)>0

Le passage de (x1,,xn) à (e1,,en) s’appelle le procédé d’orthonormalisation de Gram-Schmidt.