1) Produits scalaires
Définitions :
Un R-espace vectoriel E muni d’un produit scalaire s’appelle un espace préhilbertien.
Si E est de dimension finie, E est appelé espace euclidien.
On suppose dans la suite que E est un espace préhilbertien.
Définition :
Un produit scalaire φ sur E est une application de E×E dans R vérifiant :
- Pour tout (x,y,z)∈E3, pour tout λ∈R, φ(λx+y,z)=λφ(x,z)+φ(y,z) (φ est linéaire à gauche)
- Pour tout (x,y,z)∈E3, pour tout λ∈R, φ(x,λy+z)=λφ(x,y)+φ(x,z) (φ est linéaire à droite)
- Pour tout (x,y)∈E2, φ(x,y)=φ(y,x) (φ est symétrique)
- Pour tout x∈E, φ(x,x)≥0 (φ est positive)
- Pour tout x∈E, φ(x,x)=0⇒x=0E (φ est définie)
Un produit scalaire est donc une forme bilinéaire symétrique, définie positive.
Notation usuelle du produit scalaire : φ=(⋅|⋅)
Exemples :
- Produit scalaire canonique sur Rn
Pour x=(x1,…,xn) et y=(y1,…,yn), (x|y)=n∑k=1xkyk
- Sur C([a,b]), (f|g)=∫baf(t)g(t)dt
Définition :
Norme associée au produit scalaire ||⋅|| : pour tout x∈E, ‖x‖=√(x|x).
C’est une norme car elle vérifie :
- Pour tout x∈E, ‖x‖≥0 (avec égalité si et seulement si x=0)
- Pour tout x∈E, pour tout λ∈R, ‖λx‖=|λ|×‖x‖
- Pour tous x,y∈E, ‖x+y‖≤‖x‖+‖y‖.
Théorème : Inégalité triangulaire
Pour tous x,y∈E, ‖x+y‖≤‖x‖+‖y‖ avec égalité si et seulement si x=0 ou s’il existe λ∈R+ tel que y=λx (x et y sont dits positivement liés).
Théorème : Inégalité de Cauchy-Schwarz
Pour tout (x,y)∈E2, |(x|y)|≤||x||×||y||
Il y a égalité si et seulement si (x,y) est liée.
Définition : soit (x,y)∈E2,
Les vecteurs x et y sont orthogonaux si (x|y)=0. On note x⊥y.
Théorème de Pythagore :
Soit (x,y)∈E2 :
- ‖x+y‖2=‖x‖2+‖y‖2+2(x|y)
- x et y sont orthogonaux si et seulement si ‖x+y‖2=‖x‖2+‖y‖2
2) Familles orthogonales
Définition :
Soit (xi)i une famille d’éléments de E.
- (xi)i est une famille orthogonale de E si les éléments de la famille sont deux à deux orthogonaux
- (xi)i est une famille orthonormale ou orthonormée de E si les éléments de la famille sont unitaires ou normés (||xi||=1) et deux à deux orthogonaux.
Propriété : Toute famille orthogonale ne contenant pas le vecteur nul est libre.
Propriété :
Si (x1,…,xn) est une famille orthogonale, on a la relation de Pythagore : ‖n∑k=1xk‖2=n∑k=1‖xk‖2.
Procédé d’orthonormalisation :
Si (x1,…,xn) est une famille libre de E, il existe une unique famille orthonormale (e1,…,en) vérifiant :
- Pour tout k=1,…,n, Vect(e1,…,en) =Vect(x1,…,xn)
- Pour tout k=1,…,n, (ek|xk)>0
Le passage de (x1,…,xn) à (e1,…,en) s’appelle le procédé d’orthonormalisation de Gram-Schmidt.