Puissances et exponentielles de matrices

Puissances de matrices 

Proposition : Soit $\rm A\in M_n(\mathbb K)$.

Supposons que $\rm A$ est diagonalisable avec $\rm P\in GL_n(\mathbb K)$ et $\rm D\in D_n(\mathbb K)$ telles que $\rm A=PDP^{-1}$.

Alors pour tout $\rm k\in\mathbb N$, $\rm A^k=PD^kP^{-1}$.

Exponentielle de matrices

Définition : L’exponentielle de matrices est l’application de $\rm M_n(\mathbb K)$ dans $\rm M_n(\mathbb K)$ définie, pour tout $\rm A\in M_n(\mathbb K)$, par : $\rm \exp(A)=\displaystyle\rm \sum_{k=0}^{+\infty}\frac{1}{k !}A^k$.

Propriétés :

• Soient $\rm A_1,A_2\in M_n(\mathbb K)$ deux matrices qui commutent (c’est-à-dire $\rm A_1A_2=A_2A_1$).
  Alors $\rm \exp(A_1+A_2)=\exp(A_1)\exp(A_2)$
• Pour tout $\rm A\in M_n(\mathbb K)$, $A$ est inversible et $\rm (\exp A)^{-1}=exp(-A)$.

Suites récurrentes linéaires

Définition : Pour tout $\rm n\in\mathbb N$, on définit une suite récurrente linéaire d’ordre $\rm p$ par :

$u_{\rm n+p}=\mathrm{a_{p-1}}u_{\rm n+p-1}+\ldots+\mathrm a_0u_{\rm n}$  avec tous les $\rm a_i\in\mathbb R$.

Proposition : On exprime la suite récurrente linéaire à l’aide de matrices :
$\left(\begin{matrix} u_{\rm n+p}\\ u_{\rm n + p - 1}\\ \ldots\\ \ldots\\ u_{\rm n + 1}\end{matrix}\right)$ $=\left(\begin{matrix}\rm a_{p - 1} & \rm a_{p - 2} & \ldots & \rm a_0\\ 1 & 0 & \ldots & 0\\ \ldots\\ \ldots\\ 0 & \ldots & 1 & 0 \end{matrix}\right)$ $\left(\begin{matrix}u_{\rm n + p - 1}\\ u_{\rm n + p -2}\\ \ldots\\ \ldots\\ u_{\rm n}\end{matrix}\right)$ que l’on note $\rm U_{n+1}=AU_n$.

Alors $\rm U_n=A^nU_0$.

Systèmes de suites

Proposition : On considère deux suites $(u_{\rm n})$ et $(v_{\rm n})$ telles que pour tout $\rm n\in\mathbb N$, $\left\{\begin{matrix} u_{\rm n+1}=\mathrm au_{\rm n}+ \mathrm bv_{\rm n}\\v_{\rm n+1}=\mathrm cu_{\rm n}+\mathrm dv_{\rm n}\end{matrix}\right.$

En posant $\mathrm{U_n}=\left(\begin{matrix}u_{\rm n}\\v_{\rm n}\end{matrix}\right)$ et $\rm A=\left(\begin{matrix}\rm a & \rm b \\\rm c&\rm d\end{matrix}\right)$, on obtient $\rm U_{n+1}=AU_n$.

Alors pour tout $\rm n\in\mathbb N$, $\rm U_n=A^nU_0$.