Séries de fonctions analytiques

Définition : Soit $f$ une fonction analytique sur le disque ouvert $\mathrm D(z_0, \mathrm r)$ avec $\mathrm r>0$.

Pour tout $z\in \mathrm D(z_0, \mathrm r)$, on a $f(z)=\displaystyle \sum_{\mathrm n=0}^{+\infty}\mathrm{c_n} (z-z_0)^n$ avec $\rm c_n=\displaystyle \frac{1}{2i\pi}\int_{\gamma}\frac{f(z’)}{(z’-z_0)^{ \mathrm n+1}}\mathrm dz’$ où $\gamma$ est un contour dans $\mathrm D(z_0, \mathrm r)$ orienté positivement entourant $z_0$.

Ce développement unique est appelé développement de Taylor de $f$ autour de $z_0$.

Remarque : $\displaystyle \rm c_n=\frac{\mathcal f^{(n)}(\mathcal z_0)}{n !}$.

Proposition : Soit $f$ une fonction entière. Soit $z_0\in\mathbb C$.

La série de Taylor de $f$ de centre $z_0$ $\left(\displaystyle\sum_{\mathrm n=0}^{+\infty}\frac{f^{(\mathrm n)}(z_0)}{ \mathrm n !}(z-z_0)^{\rm n}\right)$ est convergente et a pour somme $f(z)$ pour tout $z$ de $\mathbb C$.

Définition : Soit $f$ une fonction analytique dans un domaine $\Omega$ et non identiquement nulle sur $\Omega$. 

S’il existe $z_0\in\Omega$ tel que $f(z_0)=0$ alors $z_0$ est un zéro de $f$.

Si pour tout $\rm i\leq m-1$, $f^{(\mathrm i)}(z_0)=0$ et $f^{(\mathrm m)}(z_0)\neq 0$ alors $z_0$ est un zéro d’ordre $\rm m\in \mathbb N^*$.

Définition : Soit $z$ et $z’$ deux éléments de $\mathbb C$.
$z$ et $z’$ sont deux points isolés s’il existe $\rm V$ et $\rm V’$ respectivement voisinages de $z$ et $z’$ tel que $\rm V\cap V’=\emptyset$.

Théorème des zéros isolés : Les zéros d’une fonction analytique non identiquement nulle sont isolés.

Proposition : Soit $f$ une fonction analytique sur $\mathrm C(z_0,\rm R_1,R_2)$.

Pour tout $z \in \mathrm C(z_0,\rm R_1,R_2)$, $f(z)=\displaystyle\sum_{n=-\infty}^{+\infty}\mathrm{c_n} (z-z_0)^{\rm n}$ avec $\mathrm{c_n}=\displaystyle \frac{1}{2i\pi}\int_{\gamma}\frac{f(z’)}{(z’-z_0)^{ \mathrm n+1}}\mathrm dz’$ pour tout $\mathrm n\in \mathbb Z-\{-1\}$ et $\mathrm c_{-1}=\displaystyle \frac{1}{2i\pi}\int_{\gamma}f(z’) \mathrm dz’$ où $\gamma$ est un contour orienté positivement, inclus dans la couronne et entourant $z_0$. 

Ce développement unique est appelé développement en série de Laurent de $f$.

Remarque : $\mathrm C(z_0,\rm R_1,R_2)=\{z\in\mathbb C /0\leq \mathrm R_1<|z-z_0|< \mathrm R_2\}$ est la couronne ouverte de centre $z_0$ et de rayons $\mathrm R_1$ et $\mathrm R_2$.

Remarque : Si $f$ est analytique sur $\mathrm D(z_0, \mathrm R_2)$ alors les coefficients $\rm c_n$ sont nuls pour $\mathrm n\leq 0$.