Tribus et mesures

Tribus

Soit $\rm X$ un ensemble (par exemple $\rm X=\mathbb R$ ou $\mathbb N$).

Définition : Une famille $\mathcal A$ de sous-ensembles de $\rm X$ est une tribu (ou $\sigma$-algèbre) si :

• $\rm X\in\mathcal A$
• $\mathcal A$ est stable par complémentaire : si $\rm A\in\mathcal A$, alors $\rm A^c\in\mathcal A$.
• $\mathcal A$ est stable par réunion dénombrable, si pour tout $\rm n\geq 1$, $\rm A_n\in\mathcal A$, alors $\rm \cup_ {n\geq 1}A_n\in\mathcal A$.

Exemples :

• $\{\emptyset,X\}$ est la tribu grossière.
• $\mathcal{P}\rm X$ (l’ensemble des parties de $\rm X$) est la tribu totale.

Définition : Un ensemble muni d’une tribu $\rm (X,\mathcal A)$ est appelé un espace mesurable.

Les ensembles $\rm A\in\mathcal A$ s’appellent les (ensembles) mesurables.

Définition : Soit $\mathcal M$ une famille de sous-ensembles de $\rm X$ ($\rm \mathcal M\subset \mathcal P(X)$). Soit $\sigma(\mathcal M)$ la plus petite tribu de $\rm X$ (au sens de l’inclusion) contenant $\mathcal M$. $\sigma(\mathcal M)$ est la tribu engendrée par $\mathcal M$.

Définition : La tribu engendrée par la famille des ouverts d’une topologie est la tribu borélienne notée $\rm \mathcal B(X)$.

Les éléments de la tribu borélienne $\rm \mathcal B(X)$ sont les (ensembles) boréliens de $\rm X$.

Remarque : Il s’agit de la plus petite tribu contenant tous les ouverts de $\rm X$.

Exemple : Avec $\rm X=\mathbb R=]-\infty,+\infty[$.

Les boréliens de $\mathbb R$ sont :

• Tout ouvert, tout fermé
• Tout intervalle ouvert, fermé, semi-fermé, fini ou infini
• Tout singleton $\{x\},x\in\mathbb R$
• Tout ensemble dénombrable $\{x_i,i\in \rm I\}$ avec $\rm I\subset \mathbb N$ et $x_i\in\mathbb R$.

Mesures

Soit $\rm (X,\mathcal A)$ un espace mesurable.

Définition : Une mesure $\mu$ sur $\rm (X,\mathcal A)$ est une application de $\mathcal A\to [0,+\infty]$ telle que :

• $\mu(\emptyset)=0$
• Si $\rm (A_n)_{n\geq 1}$ est une suite dénombrable d’ensembles de $\mathcal A$ deux à deux disjoints, alors $\rm \mu(\cup_{n\geq 1}A_n)=\displaystyle\rm \sum_ {n\geq 1}\mu(A_n)$ ($\sigma$-additivité)

Définition : Le triplet $\rm (X,\mathcal A,\mu)$ est un espace mesuré.

Exemple : Sur $\rm (X,\mathcal P(X))$, la mesure de Dirac est définie pour $\rm a\in X$ par :

$\rm \delta_a(A)=1$ si $a\in A$ et $\rm \delta_a(A)=0$ si $\rm a\notin A$.

Définition : Soit $\mu$ une mesure sur $\rm (X,\mathcal A)$.

• Si $\rm \mu(X)<+\infty$, la mesure $\mu$ est finie.
  • Si $\rm X=\cup_{n\geq 1}X_n$ avec $\rm \mu(X_n)<+\infty$, la mesure $\mu$ est $\bf \sigma$-finie.
  • Si $\rm \mu(X)=1$, la mesure $\mu$ est une mesure de probabilité.
  • La mesure $\mu$ est borélienne si $\rm \mathcal A=\mathcal B(X)$.

Théorème : Mesure de Lebesgue

Il existe une unique mesure $\lambda$ sur $(\mathbb R,\mathcal B(\mathbb R))$ telle que :

• Pour tout intervalle $\rm [a,b]$ borné, on a : $\rm \lambda([a,b])=\lambda(]a,b[)=b-a$.
• Pour tout $\rm A\in\mathcal B(\mathbb R)$, $\lambda(\mathrm A+x)= \rm \lambda(A)$ où $\mathrm A+x=\{\mathrm a+x/\rm a\in A\}$ (invariance par translation).

Définition : On note $\mathcal L(\mathbb R)$ la tribu de Lebesgue, qui est la tribu complétée de $\mathcal B(\mathbb R)$.

Proposition : Tout ensemble dénombrable $\rm A$ est de mesure de Lebesgue $\rm \lambda(A)=0$.