Anneaux quotients

Soit $\rm I$ idéal de $\rm A$ anneau commutatif.

On définit sur $\rm A$ la relation de congruence modulo $\rm I$ :

Pour tous $x,x’\in \rm A$, $x\equiv x’$ $\rm mod(I)$ $\Leftrightarrow x-x’\in \rm I$.

En notant $\bar{x}\in \rm A/I$ la classe d’équivalence de $x\in \rm A$, on a : pour tous $x,y\in \rm A$, $\bar{x}+\bar{y}=\overline{x+y}$ et $\bar{x}\times\bar{y}=\overline{xy}$.

Théorème : $\rm (A/I, +,\times)$ est un anneau commutatif, appelé anneau quotient.

Exemple : $\rm \mathbb Z/n\mathbb Z$ est l’anneau des classes de congruence.

Théorème : La projection canonique $\mathrm p :x\mapsto \bar{x}$ est un morphisme surjectif de l’anneau $\rm A$ sur l’anneau $\rm A/I$.

Le noyau de $\rm p$ est $\rm I$.

Théorème : Soit $f : \rm A\to A’$ un morphisme d’anneaux.

Le noyau de $f$ ($\mathrm{Ker} f$) est un idéal de $\rm A$.

L’image de $f$ ($\mathrm{Im} f$) est un sous-anneau de $\rm A’$.
$\bar{f}:\mathrm{A/Ker} f\to \mathrm{Im} f$ est un isomorphisme.

Définition : Deux idéaux $\rm I,J$ de $\rm A$ sont dits étrangers (l’un à l’autre) si $\rm I+J=A$ c’est-à-dire s’il existe $x\in \rm I$ et $y\in \rm J$ tel que $x+y=1$.

Théorème (Lemme Chinois) : Soient $\rm I,J$ deux idéaux de $\rm A$ étrangers entre eux.

Alors l’application $x$ $(\rm mod$ $\mathrm{IJ}) \mapsto (x$ $(\rm mod$ $\mathrm I)$, $x$ $(\rm mod$ $\mathrm J))$ est un isomorphisme de $\rm A/IJ$ sur l’anneau produit $\rm (A/I)\times (A/J)$.

Corollaire : Soient $\rm I_1,\ldots,I_n$ des idéaux étrangers deux à deux.

Alors $\rm I_1\cap \ldots\cap I_n=I_1\ldots I_n$ et on a un isomorphisme : $\rm A/(I_1\cap\ldots\cap I_n)\simeq (A/I_1)\times \ldots\times (A/I_n)$.