Soit f:Ω⊂E→F avec E,F des R-espaces vectoriels de dimensions finies.
Soit a∈Ω.

Méthode 1 : Etudier des applications différentiables

Définition :

Le développement limité de f en a à l'ordre 1 s'écrit :
f(a+h)=f(a)+l(h)+||h||ϵ(h)

Avec l∈L(E,F) : application linéaire tangente à f en a.
ϵ(h)→0F quand h→0E.
On note ∘(h)=||h||ϵ(h).

Définition :

f est différentiable en a si f admet un développement limité à l'ordre 1 en a.
L'application linéaire tangente à f en a est également appelée différentielle de f en a notée df(a) avec df(a)⋅h=[df(a)](h).
f(a+h)=f(a)+df(a)⋅h+∘(h) quand h→0E.

Théorème :

Si f est différentiable en a, alors f est continue en a.

Théorème :

Soit f:I⊂R→F et soit a∈I.

Les propositions suivantes sont équivalentes :

  • f est différentiable en a
  • f est dérivable en a.

df(a)(h)=h⋅f′(a).
En particulier : f′(a)=df(a)⋅1

Définition :

Une fonction f:Ω⊂E→F est différentiable si elle est différentiable en tout point a∈Ω.
df:Ω→L(E,F) est la différentielle de f.

Théorème :

Les fonctions différentiables sont continues.

Théorème :

Soient f,g:Ω⊂E→F et α,β∈R.
Si f,g différentiables, alors αf+βg est différentiable et
d(αf+βg)=αdf+βdg.

Théorème :

Soient f:Ω⊂E→F et g:Ω′⊂F→G avec f(Ω)⊂Ω′.
Si f et g sont différentiables, g∘f est différentiable et pour tout a∈Ω, d(g∘f)(a)=[dg(f(a))]∘df(a).

Méthode 2 : Etudier la dérivation

Définition :

Soient f:Ω⊂E→F et a∈Ω.
f est dérivable en a selon le vecteur v si la fonction t↦f(a+t⋅v) est dérivable en 0.
Le vecteur dérivé de f en a selon le vecteur v est :

Dvf(a)=limt→01t(f(a+t⋅v)−f(a))

Théorème :

Si f est différentiable en a, alors f est dérivable en a selon tout vecteur v∈E :

Dvf(a)=df(a)⋅v

Définition :

Soient f:Ω⊂E→F et e=(e1,…,en) une base de E. Soit a∈Ω.
Le vecteur dérivé de f en a selon le vecteur ei (ou ième dérivé partiel de f dans la base e) est ∂if(a)=Deif(a)=limt→01t(f(a+t⋅ei)−f(a)).

Théorème :

Si f:Ω⊂E→F est différentiable, alors les dérivées partielles de f dans la base de E e=(e1,…,en) existent et pour tout a∈Ω :
∂if(a)=df(a)⋅ei
Pour tout h=n∑i=1hi⋅ei

df(a)⋅h=Dhf(a)=n∑i=1hi⋅∂if(a)

Théorème :

Cas E=Rn
Soit f:Ω⊂Rn→F telle que f:x=(x1,…,xn)↦f(x1,…,xn).
Soit e=(e1,…,en) base canonique de Rn.

∂if(x) =ddxi(f(x1,…,xn)) =∂f∂xi(x1,…,xn)

Théorème :

Soit f:Ω⊂E→F différentiable en x∈Ω avec e=(e1,…,en) et e′=(e′1,…,e′m) respectivement les bases de E et F.
La matrice jacobienne de f en x est la matrice de df(x) :
Jacf(x)=(∂f1∂x1(x)…∂f1∂xn(x)……∂fm∂x1(x)…∂fm∂xn(x))
Avec les fi fonctions coordonnées de f.
Le déterminant de la matrice est appelé Jacobien.

Théorème :

Soient f,g:Ω⊂E et α,β∈R.
Si f et g admettent des dérivées partielles, alors αf+βg est différentiable et ∂i(αf+βg)=α∂if+β∂ig.

Théorème :

Soient f:Ω⊂E→F et g:Ω′⊂F→G avec f(Ω)⊂Ω′.
Soient e=(e1,…,en) et e′=(e′1,…,e′m) les bases respectivement de E et F.
Soit x=(x1,…,xn)∈E et y=(y1,…,ym)∈F.
Si f et g sont différentiables alors :

∂(g∘f)∂xi(a)=m∑k=1∂fk∂xi(a)∂g∂yk(f(a))

Méthode 3 : Etudier la classe d'une fonction

Définition :

Soit f:Ω⊂E→F.

f est de classe C1

  • Si f est différentiable sur Ω et df est continue sur Ω.

Ou de façon équivalente :

  • Si les dérivées partielles de f relativement à une base de E existent en tout point de Ω et sont continues sur Ω.

Théorème :

Soit f:Ω⊂E→F une application de classe C1.
Si γ:[0 ;1]→Ω est un arc de classe C1 d'extrémités a=γ(0) et b=γ(1) alors f(b)−f(a)=∫10df(γ(t))⋅γ′(t)dt.

Définition :

Soit f:Ω⊂E→F.
f est appelée dérivée partielle d'ordre 0 de f.
Pour k∈N, si elles existent, on appelle dérivées partielles de f d'ordre k+1 les dérivées partielles des dérivées partielles d'ordre k de f.

Définition :

Soit f:Ω⊂E→F.
f est de classe Ck si ses dérivées partielles d'ordre k existent et sont continues.
f est de classe C∞ si pour tout k∈N, f est de classe Ck.

Théorème :

Soient f,g:Ω⊂E→F et α,β∈R.
Soit k∈N∪{+∞}.
Si f et g sont de classe Ck, αf+βg est de classe Ck.

Théorème :

Soit f:Ω⊂E→F.

Les propriétés suivantes sont équivalentes :

  • f est de classe Ck
  • Les fonctions coordonnées de f dans une base de F sont de classe Ck

Théorème :

Soient f:Ω⊂E→F et g:Ω′⊂F→G avec f(Ω)⊂Ω′.
Si f et g sont de classe Ck alors g∘f est de classe Ck.

Théorème de Schwarz :

Soit f:Ω⊂E→F.
Si f est de classe C2, pour tous i, j∈{1,…,n},
∂2f∂xi∂xj=∂2f∂xj∂xi

Méthode 4 : Applications en calcul différentiel

Définition :

Soit f:Ω⊂E→R différentiable.
f admet un point critique en a∈Ω si df(a)=0.

Théorème :

Si f:Ω⊂E→R différentiable admet un extremum local en a∈Ω alors a est un point critique de f. La réciproque est fausse.

Remarque :

Soit f:Ω⊂E→R.
f admet un minimum local en a∈Ω s'il existe α>0, tel que pour tout x∈Ω∩B(a,α), f(x)≥f(a).

En pratique, pour obtenir des extremums locaux, on commence par rechercher les points critiques (par exemple le point a) puis on étudie ceux-ci (par exemple avec le signe de f(x)−f(a)).

Théorème :

Les solutions de l'équation aux dérivées partielles d'ordre 1 : ∂f∂x(x,y)=0 sont les fonctions f:Ω1×Ω2→R de classe C1, telles que f:(x,y)↦C(y) avec C∈C1(Ω2,R) (Ω1 et Ω2 sont des intervalles de R ouverts et non vides).

Théorème :

Les solutions de l'équation aux dérivées partielles d'ordre 2 :
∂2f∂x2(x,y)=0 sont les fonctions f:Ω1×Ω2→R de classe C2, telles que f:(x,y)↦xC(y)+D(y) avec C,D∈C2(Ω2,R).

Théorème :

Les solutions de l'équation aux dérivées partielles d'ordre 2 :
∂2f∂x∂y(x,y)=0 sont les fonctions f:Ω1×Ω2→R de classe C2, telles que f:(x,y)↦C(x)+D(y) avec C∈C2(Ω1,R) et D∈C2(Ω2,R).