Endomorphismes hermitiens

Soit $\it E$ un espace hermitien de dimension finie $\it n$ non nulle.

Définition : Soit $u\in \rm \mathcal L(E)$.

L’adjoint de $u$ est l’unique endomorphisme de $\rm E$, noté $u^*$, tel que pour tous $x,y\in \rm E$, $(u(x)|y)=(x|u^*(y))$.

Remarque : Si on note $\rm A\in M_n(\mathbb C)$, la matrice de $u$ dans une base orthonormée de $\rm E$, la matrice de $u^*$ dans cette base est $\rm A^*=^t\bar{A}$.

Si $\rm A=(a_{i,j})_{1\leq i,j \leq n}$,  $\rm A^*= ^t\bar{A} =\left(\begin{matrix}\rm \overline{a_{1,1}} &\ldots &\rm \overline{a_{n,1}}\\\ldots& &\ldots \\ \rm \overline{a_{1,n}} &\ldots &\rm \overline{a_{n,n}}\end{matrix}\right)$

Propriétés : Soit $u,v\in \rm \mathcal L(E)$ et $\lambda,\mu \in\mathbb C$.

• $(\lambda u+\mu v)^*=\bar{\lambda}u^*+\bar{\mu}v^*$
• $(u\circ v)^*=v^*\circ u^*$
• $(u^*)^*=u$
• $\rm (Id_E)^*=Id_E$

Si $u\in \rm GL(E)$, $u^*\in \rm GL(E)$ et $(u^*)^{-1}=(u^{-1})^*$.

Définition : Un endomorphisme $u$ de $\rm E$ est normal s’il commute avec son adjoint : $u\circ u^*=u^*\circ u$.

Théorème : Un endomorphisme normal d’un espace hermitien $\rm E$ est diagonalisable dans une base orthonormée de $\rm E$.

Définition : Une matrice $\rm A\in M_n(\mathbb C)$ est normale si $\rm AA^*=A^*A$.

Définition : Un endomorphisme $u$ de $\rm E$ est appelé auto-adjoint ou hermitien si $u=u^*$.

On note $\rm Her(E)$ l’ensemble des endomorphismes hermitiens de $\rm E$.

Propriétés :

• $\rm Her(E)$ est un $\mathbb R$- sous-espace vectoriel de $\rm \mathcal L(E)$.
• $\rm \dim Her(E)=n^2$

Définition :

Une matrice $\rm A\in M_n(\mathbb C)$ est hermitienne si $\rm A=A^*$.

On note $\rm Her_n(\mathbb C)$ l’ensemble des matrices hermitiennes d’ordre $\rm n$.

Propriétés :

• $\rm Her_n(\mathbb C)$ est un $\mathbb R$- sous-espace vectoriel.
• $\rm \dim Her_n(\mathbb C)=n^2$

Théorème :

Soit $u\in \rm \mathcal L(E)$ avec $\rm E$ espace hermitien de dimension finie $\rm n$ non nulle.

Les propriétés suivantes sont équivalentes :

• $u\in \rm Her(E)$.
• Il existe une base orthonormée de $\rm E$ dans laquelle la matrice de $u$ appartient à $\rm Her_n(\mathbb C)$.
• $(u(x)|x)\in\mathbb R$ pour tout $x\in \rm E$.
• Il existe une base orthonormée de $\rm E$ formée de vecteurs propres pour $u$, et les valeurs propres de $u$ sont réelles.

Définition : 

$\rm Her^+(E)$ $=\{u\in \mathrm{Her(E)/Spec}(u)\subset \mathbb R^+\}$

Si $v\in \rm Her^+(E)$, $v$ est appelé hermitien positif.

Théorème :

Soit $u\in \rm \mathcal L(E)$ avec $\rm E$ espace hermitien de dimension finie $\rm n$ non nulle.

Les propriétés suivantes sont équivalentes :

• $u\in \rm Her^+(E)$.
• $(u(x)|x)\in\mathbb R^+$ pour tout $x\in \rm E$.
• Il existe $v\in\rm \mathcal L(E)$ tel que $u=v\circ v^*$.
• Il existe $w\in\rm \mathcal L(E)$ tel que $u=w^*\circ w$.