Endomorphismes unitaires

Soit $\it E$ un espace hermitien de dimension finie $\it n$ non nulle.

Définition : Une matrice $\rm A\in M_n(\mathbb C)$ est unitaire si elle est inversible et si $\rm A^{-1}=A^*$.

Propriétés :

• L’ensemble des matrices unitaires de $\rm M_n(\mathbb C)$, noté $\rm U(n)$ est un sous-groupe du groupe $\rm GL_n(\mathbb C)$, appelé groupe unitaire de degré $\bf n$.
• L’ensemble $\rm SU(n)=\{A\in U(n)/det(A)=1\}$ est un sous-groupe de $\rm U(n)$, appelé groupe spécial unitaire de degré $\bf n$.

Théorème-Définition : Soit $u\in\rm \mathcal L(E)$.

Les conditions suivantes sont équivalentes :

• $u$ est un endomorphisme unitaire de $\rm E$.
• $\|u(x)\|=\|x\|$ pour tout $x\in \rm E$.
• $(u(x)|u(y))=(x|y)$ pour tous $x,y\in \rm E$.
• $u\in \rm GL(E)$ et $u^*=u^{-1}$.
• Pour toute base orthonormée $\rm e$ de $\rm E$, $\mathrm{Mat}(u, \rm e)\in U(n)$.
• Pour toute base orthonormée $\rm (e_1,\ldots,e_n)$ de $\rm E$, $(u(\mathrm e_1),\ldots,u(\rm e_n))$ est une base orthonormée de $\rm E$.

Remarque : Les endomorphismes unitaires sont les analogues des endomorphismes orthogonaux pour les espaces hermitiens.

Propriétés : 

• L’ensemble des endomorphismes unitaires de $\rm E$, noté $\rm U(E)$ est un sous-groupe du groupe $\rm GL(E)$, appelé groupe unitaire de $\bf E$.
• L’ensemble $\rm SU(E)=\{\mathcal u\in U(E)/det(\mathcal u)=1\}$ est un sous-groupe de $\rm U(E)$, appelé groupe spécial unitaire de $\bf E$.

Proposition : Soit $u$ un endomorphisme unitaire de $\rm E$.

• Si $\rm F$ est un sous-espace de $\rm E$ stable par $u$, alors $\rm F^{\bot}$ est stable par $u$.
• Si $\lambda\in\mathbb C$ est valeur propre de $u$, alors $\lambda$ est de module 1.

Théorème : Soit $u$ un endomorphisme unitaire de $\rm E$.

Il existe une base orthonormée de $\rm E$ formée de vecteurs propres pour $u$, et les valeurs propres de $u$ sont de module $1$.