Espaces Lᴾ

Soit $\rm (X,\mathcal A,\mu)$ un espace mesuré.

Définition : Soit $f : \rm X \to \mathbb C$ une fonction mesurable.

• Pour $\rm p\in [1,+\infty[$, on définit : $\displaystyle\rm \|\mathcal f\|_p= \left(\int_X |\mathcal f|^pd\mu\right)^{1/p}$.
• On définit : $\|f\|_{\infty}=\scriptstyle\left\{\begin{array}{ll}\scriptstyle +\infty \text{ si }\mathcal f \text{ n'a pas de majorant essentiel} \\ \scriptstyle \text{inf des majorants essentiels sinon } \end{array}\right.$ où $\rm M\in \mathbb R$ est un majorant essentiel de $f$ si $\mu(x\in \mathrm X/|f(x)|> \rm M)=0$.

Définitions : 

On note $\rm \mathcal L^p(X,\mathcal A,\mu)$ l’ensemble des fonctions $f$ mesurables telles que $\|f\|_{\rm p}<+\infty$.

On note $\rm \mathcal L^{\infty}(X,\mathcal A,\mu)$ l’ensemble des fonctions $f$ mesurables telles que $\|f\|_{\infty}<+\infty$.

Propriété : $\rm \mathcal L^p(X,\mathcal A,\mu)$ et $\rm \mathcal L^{\infty}(X,\mathcal A,\mu)$ sont des espaces vectoriels.

Définition : Pour $\rm p\in [1,+\infty]$, on définit l’espace quotient $\rm L^p(X,\mathcal A,\mu)= \mathcal L^p(X,\mathcal A,\mu)/\sim_{\mu}$ où la relation d’équivalence $\sim_{\mu}$ est définie par : $f\sim_{\mu}g$ si et seulement si $f$ est égale à $g$ $\mu$-presque partout.

Pour $\rm p\in [1,+\infty]$, $\rm L^p(X,\mathcal A,\mu)$ est donc l’espace vectoriel des classes d’équivalence des fonctions $f$ telles que $|f|^{\rm p}$ est $\mu$_intégrable.

Remarque : $\|\cdot\|_p$ n’est pas une norme sur $\rm \mathcal L^p(X,\mathcal A,\mu)$ mais une semi-norme car $\|f\|_{\rm p}=0$ n’implique pas $f=0$ mais seulement que $f=0$ $\mu$-presque partout.

Mais $\rm \|\cdot\|_p$ est une norme sur $\rm L^p(X,\mathcal A,\mu)$ car $\|f\|_{\rm p}=0$ implique $f=0$ $\mu$-presque partout c’est-à-dire $f$ est la classe nulle.

Définition : Soient $\rm p,q \in [1~ ;+\infty]$. $\rm p$ et $\rm q$ sont des exposants conjugués si $\displaystyle \rm \frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$.

Théorème : Inégalité de Hölder 

Soient $f,g : \rm X\to \mathbb C$ des fonctions mesurables. Soient $\rm p,q$ des exposants conjugués dans $[1~ ;+\infty]$. Si $f\in \rm L^p(X,\mathcal A,\mu)$ et $g\in \rm L^q(X,\mathcal A,\mu)$, alors $fg \in \rm L^1(X,\mathcal A,\mu)$ et $\displaystyle \|fg\|_1=\int_{\rm X}|fg|\mathrm d\mu\leq \|f\|_{\rm p}\|g\|_{\rm q}$.

Théorème : Inégalité de Cauchy-Schwarz

Soient $f,g : \rm X\to \mathbb C$ des fonctions mesurables. Si $f$ et $g \in \rm L^2(X,\mathcal A,\mu)$, alors $\displaystyle \left |\int fg \mathrm dμ\right|^2\leq \left(\int|f|^2\mathrm dμ\right) \left(\int|g|^2\mathrm dμ\right)$.

Théorème : Inégalité de Minkowski

Soient $f,g : \rm X\to \mathbb C$ des fonctions mesurables. Si $f$ et $g \in \rm L^p(X,\mathcal A,\mu)$, alors $\|f+g\|_{\rm p}\leq \|f\|_{\rm p}+\|g\|_{\rm p}$.

Théorème : Si $f_{\rm n}$ converge vers $f$ dans $\rm L^p(X,\mathcal A,\mu)$ (c’est-à-dire $\displaystyle \lim_{\rm n\to +\infty}\|f_{\rm n}-f\|_p=0$), alors il existe une sous-suite de $(f_{\rm n})_{\rm n\geq 1}$ qui converge $\mu$-presque partout vers $f$.

Théorème : Si $\rm \mu(X)<+\infty$, alors pour $\rm p\geq q$, $\rm L^p(X,\mathcal A,\mu)\subset L^q(X,\mathcal A,\mu)$.