Définition : Un idéal d’un anneau commutatif A est un sous-groupe I de (A,+) tel que pour tout x∈I, pour tout a∈A, ax∈I.
De façon équivalente : I est non vide et stable par combinaisons linéaires : pour tous x1,…,xn∈I et pour tous a1,…,an∈A, a1x1+…anxn∈I.
Propriété : Tout anneau non trivial a au moins deux idéaux : l’idéal trivial {0A} et A.
Les idéaux de A distincts de A sont appelés propres.
Définition : Soit x∈A.
L’idéal principal engendré par x et noté Ax=<x>={ax/a∈A} est le plus petit idéal contenant x.
Propriété : Si x est inversible, Ax=A, c’est-à-dire que l’idéal principal engendré par x est A tout entier.
Définition : Soit x1,…,xn∈A.
L’idéal I engendré par x1,…,xn est le plus petit idéal contenant x1,…,xn. Il est noté
<x1,…,xn>=Ax1+…+Axn={a1x1+…+anxn/a1,…,an∈A}.
Opérations sur les idéaux :
Propriétés : Soit I et J deux idéaux de A.
L’intersection I∩J est un idéal.
La somme I+J={x+y/x∈I,y∈J} est un idéal.
Remarques : I+J est le plus petit idéal contenant I et J.
Les propriétés précédentes s’appliquent plus généralement pour une somme finie et une intersection finie d’idéaux.
Définition : Soit I et J deux idéaux de A.
L’idéal produit de I et J, noté IJ est l’idéal engendré par {xy/x∈I,y∈J}.
Propriété : Soit (Ii)i∈X une famille d’idéaux de A.
On suppose que pour tous i,j∈X, il existe k∈X tel que Ii⊂Ik et Ij⊂Ik.
Alors ⋃i∈XIi est un idéal de A.