Définition : Un idéal d’un anneau commutatif $\rm A$ est un sous-groupe $\rm I$ de $\rm (A,+)$ tel que pour tout $x\in \rm I$, pour tout $\rm a\in A$, $\mathrm ax\in \rm I$.
De façon équivalente : $\rm I$ est non vide et stable par combinaisons linéaires : pour tous $x_1,\ldots,x_{\rm n} \rm \in I$ et pour tous $\rm a_1,\ldots,a_n \in A$, $\mathrm a_1x_1+\ldots \mathrm{a_n}x_{\rm n} \rm \in I$.
Propriété : Tout anneau non trivial a au moins deux idéaux : l’idéal trivial $\rm \{0_A\}$ et $\rm A$.
Les idéaux de $\rm A$ distincts de $\rm A$ sont appelés propres.
Définition : Soit $x\in \rm A$.
L’idéal principal engendré par $x$ et noté $\mathrm Ax= < x >=\{\mathrm ax/\rm a\in A\}$ est le plus petit idéal contenant $x$.
Propriété : Si $x$ est inversible, $\mathrm Ax=\rm A$, c’est-à-dire que l’idéal principal engendré par $x$ est $\rm A$ tout entier.
Définition : Soit $x_1,\ldots,x_{\rm n} \rm \in A$.
L’idéal $\rm I$ engendré par $x_1,\ldots,x_{\rm n}$ est le plus petit idéal contenant $x_1,\ldots,x_{\rm n}$. Il est noté
$< x_1,\ldots,x_{\rm n} > = \mathrm Ax_1+\ldots+\mathrm Ax_{\rm n}=\{\mathrm a_1x_1+\ldots +\mathrm{a_n}x_{\rm n}/\rm a_1,\ldots,a_n\in A\}$.
Opérations sur les idéaux :
Propriétés : Soit $\rm I$ et $\rm J$ deux idéaux de $\rm A$.
L’intersection $\rm I\cap J$ est un idéal.
La somme $\mathrm{I+J}=\{x+y/x\in \mathrm I,y\in \rm J\}$ est un idéal.
Remarques : $\rm I+J$ est le plus petit idéal contenant $\rm I$ et $\rm J$.
Les propriétés précédentes s’appliquent plus généralement pour une somme finie et une intersection finie d’idéaux.
Définition : Soit $\rm I$ et $\rm J$ deux idéaux de $\rm A$.
L’idéal produit de $\rm I$ et $\rm J$, noté $\rm IJ$ est l’idéal engendré par $\{xy/x\in \mathrm I,y\in \rm J\}$.
Propriété : Soit $\rm (I_i)_{i\in X}$ une famille d’idéaux de $\rm A$.
On suppose que pour tous $\rm i,j\in X$, il existe $\rm k\in X$ tel que $\rm I_i\subset I_k$ et $\rm I_j\subset I_k$.
Alors $\displaystyle\rm \bigcup_{i\in X}I_i$ est un idéal de $\rm A$.
