Définition : Un idéal d’un anneau commutatif A est un sous-groupe I de (A,+) tel que pour tout xI, pour tout aA, axI.

De façon équivalente : I est non vide et stable par combinaisons linéaires : pour tous x1,,xnI et pour tous a1,,anA, a1x1+anxnI.

Propriété : Tout anneau non trivial a au moins deux idéaux : l’idéal trivial {0A} et A.

Les idéaux de A distincts de A sont appelés propres.

Définition : Soit xA.

L’idéal principal engendré par x et noté Ax=<x>={ax/aA} est le plus petit idéal contenant x.

Propriété : Si x est inversible, Ax=A, c’est-à-dire que l’idéal principal engendré par x est A tout entier.

Définition : Soit x1,,xnA.

L’idéal I engendré par x1,,xn est le plus petit idéal contenant x1,,xn. Il est noté 
<x1,,xn>=Ax1++Axn={a1x1++anxn/a1,,anA}.

Opérations sur les idéaux :

Propriétés : Soit I et J deux idéaux de A.

L’intersection IJ est un idéal.

La somme I+J={x+y/xI,yJ} est un idéal.

Remarques : I+J est le plus petit idéal contenant I et J.
Les propriétés précédentes s’appliquent plus généralement pour une somme finie et une intersection finie d’idéaux.

Définition : Soit I et J deux idéaux de A.

L’idéal produit de I et J, noté IJ est l’idéal engendré par {xy/xI,yJ}.

Propriété : Soit (Ii)iX une famille d’idéaux de A.

On suppose que pour tous i,jX, il existe kX tel que IiIk et IjIk.

Alors iXIi est un idéal de A.