Soit $\rm E$ un $\mathbb C$-espace vectoriel.
Définition : Soit $\varphi : \rm E\times E\to \mathbb C$.
$\varphi$ est une forme sesquilinéaire sur $\rm E$ si et seulement si pour tout $(x,y)\in \rm E^2$ :
- $y\mapsto \varphi(x,y)$ est linéaire
- $x\mapsto \varphi(x,y)$ vérifie : pour tous
$(\lambda_1,\lambda_2)\in\mathbb C^2$, pour tous $(x_1,x_2)\in \rm E^2$, $\varphi(\lambda_1 x_1+\lambda_2 x_2,y)=\overline{\lambda_1}\varphi(x_1,y)+ \overline{\lambda_2}\varphi(x_2,y)$.
Définition : Une forme sesquilinéaire $\varphi$ est hermitienne si pour tous $(x,y)\in \rm E^2$, $\varphi(x,y)=\overline{\varphi(y,x)}$.
Identités de polarisation :
Soit $\varphi$ une forme sesquilinéaire hermitienne. Soit $(x,y)\in \rm E^2$.
- $\varphi(x+y,x+y)=\varphi(x,x)+\varphi(y,y)+2\mathrm{Re}(\varphi(x,y))$
- $\varphi(x+iy,x+iy)=\varphi(x,x)+\varphi(y,y)-2\mathrm{Im}(\varphi(x,y))$
- $\varphi(x,y)=\displaystyle\frac{1}{4}[\varphi(x+y,x+y)-\varphi(x-y,x-y)]-\displaystyle\frac{i}{4}[\varphi(x+iy,x+iy)-\varphi(x-{\rm i}y,x-{\rm i}y)]$
Définition :
Un produit scalaire hermitien $\varphi$ sur $\rm E$ est une forme sesquilinéaire hermitienne définie positive, c’est-à-dire une application de $\rm E\times E$ dans $\mathbb C$ telle que :
- $\varphi$ est une forme sesquilinéaire hermitienne
- Pour tout $x\in \rm E$, $\varphi(x,x)\geq 0$
- Pour tout $x\in \rm E$, $\varphi(x,x)= 0 \Rightarrow x=\vec{0}$ (vecteur nul).
Définitions :
Un $\mathbb C$-espace vectoriel $\rm E$ muni d’un produit scalaire est un espace préhilbertien complexe.
Si $\rm E$ est de dimension finie, $\rm E$ est appelé espace hermitien.
Notation usuelle du produit scalaire : $\varphi=(\cdot|\cdot)$ ou $<\cdot,\cdot>$.
Exemples : Produit scalaire canonique sur $\rm \mathbb C^n$ :
Pour $x=(x_1,\ldots,x_{\rm n})$ et $y=(y_1,\ldots,y_{\rm n})$, $(x|y)=\displaystyle\sum_{\rm k=1}^{\rm n} \overline{x_{\rm k}}y_{\rm k}$
Produit scalaire sur $\rm C([a,b],\mathbb C)$ : $(f|g)=\displaystyle\int_{\rm a}^{\rm b} \bar{f}(t)g(t)\mathrm dt$.
Dans ce qui suit, $\rm E$ désigne un espace préhilbertien complexe, muni du produit scalaire $(\cdot|\cdot)$.
Définition :
En posant : pour tout $x\in \rm E$, $\|x\|=\sqrt{(x|x)}$, on définit une norme sur $\rm E$ appelée norme hermitienne.
C’est une norme car elle vérifie :
- Pour tout $x\in \rm E$, $\|x\| \geq 0$ (avec égalité si et seulement si $x=0$)
- Pour tout $x\in \rm E$, pour tout $\lambda \in\mathbb R$, $\|\lambda x\|=|\lambda| \times \|x\|$
- Pour tous $x,y\in \rm E$, $\|x+y\|\leq \|x\|+\|y\|$.
Remarque : $x\in \rm E$ est unitaire si $\|x\|=1$.
Théorème : Inégalité de Cauchy-Schwarz
Pour tout $(x,y)\in \rm E^2$, $|(x|y)|\leq \|x\| \times \|y\|$
Il y a égalité si et seulement si $x$ et $y$ sont colinéaires.
Remarque : $|\cdot|$ désigne le module.
Théorème : Inégalité triangulaire
Pour tous $x,y\in \rm E$, $||x+y||\leq ||x||+||y||$ avec égalité si et seulement s’il existe $\lambda \in\mathbb R^+$ tel que $y=\lambda x$ ou $x=\lambda y$ ($x$ et $y$ sont dits positivement liés).
Propriétés : Identités de polarisation
Soit $(x,y)\in \rm E^2$.
- $\|x+y\|^2=\|x\|^2+\|y\|^2+2\mathrm{Re}((x|y))$
- $\|x+iy\|^2=\|x\|^2+\|y\|^2 – 2 \mathrm{Im}((x|y))$
- $\|x+y\|^2+\|x-y\|^2=2(\|x\|^2+\|y\|^2)$