Soit E un C-espace vectoriel.

Définition : Soit φ:E×EC.

φ est une forme sesquilinéaire sur E si et seulement si pour tout (x,y)E2 :

  • yφ(x,y) est linéaire
  • xφ(x,y) vérifie : pour tous

(λ1,λ2)C2, pour tous (x1,x2)E2, φ(λ1x1+λ2x2,y)=¯λ1φ(x1,y)+¯λ2φ(x2,y).

Définition : Une forme sesquilinéaire φ est hermitienne si pour tous (x,y)E2, φ(x,y)=¯φ(y,x).

Identités de polarisation :

Soit φ une forme sesquilinéaire  hermitienne. Soit (x,y)E2.

  • φ(x+y,x+y)=φ(x,x)+φ(y,y)+2Re(φ(x,y))
  • φ(x+iy,x+iy)=φ(x,x)+φ(y,y)2Im(φ(x,y))
  • φ(x,y)=14[φ(x+y,x+y)φ(xy,xy)]i4[φ(x+iy,x+iy)φ(xiy,xiy)]

Définition :

Un produit scalaire hermitien φ sur E  est une forme sesquilinéaire  hermitienne  définie positive, c’est-à-dire une application de E×E dans C telle que :

  • φ est une forme sesquilinéaire  hermitienne
  • Pour tout xE, φ(x,x)0  
  • Pour tout xE, φ(x,x)=0x=0  (vecteur nul).

Définitions :

Un C-espace vectoriel E muni d’un produit scalaire est un espace préhilbertien complexe.

Si E est de dimension finie, E est appelé espace hermitien.

Notation usuelle du produit scalaire : φ=(|) ou <,>.

Exemples : Produit scalaire canonique sur Cn :

Pour x=(x1,,xn) et y=(y1,,yn), (x|y)=nk=1¯xkyk

Produit scalaire sur C([a,b],C) : (f|g)=baˉf(t)g(t)dt.

Dans ce qui suit, E désigne un espace préhilbertien complexe, muni du produit scalaire (|).

Définition :

En posant : pour tout xE, , on définit une norme sur appelée norme hermitienne.

C’est une norme car elle vérifie :

  • Pour tout ,  (avec égalité si et seulement si )
  • Pour tout , pour tout ,
  • Pour tous , .

Remarque : est unitaire si .

Théorème : Inégalité de Cauchy-Schwarz

Pour tout ,

Il y a égalité si et seulement si et sont colinéaires.

Remarque : désigne le module.

Théorème : Inégalité triangulaire

Pour tous , avec égalité si et seulement s’il existe tel que ou ( et sont dits positivement liés).

Propriétés : Identités de polarisation

Soit .