Soit E un C-espace vectoriel.
Définition : Soit φ:E×E→C.
φ est une forme sesquilinéaire sur E si et seulement si pour tout (x,y)∈E2 :
- y↦φ(x,y) est linéaire
- x↦φ(x,y) vérifie : pour tous
(λ1,λ2)∈C2, pour tous (x1,x2)∈E2, φ(λ1x1+λ2x2,y)=¯λ1φ(x1,y)+¯λ2φ(x2,y).
Définition : Une forme sesquilinéaire φ est hermitienne si pour tous (x,y)∈E2, φ(x,y)=¯φ(y,x).
Identités de polarisation :
Soit φ une forme sesquilinéaire hermitienne. Soit (x,y)∈E2.
- φ(x+y,x+y)=φ(x,x)+φ(y,y)+2Re(φ(x,y))
- φ(x+iy,x+iy)=φ(x,x)+φ(y,y)−2Im(φ(x,y))
- φ(x,y)=14[φ(x+y,x+y)−φ(x−y,x−y)]−i4[φ(x+iy,x+iy)−φ(x−iy,x−iy)]
Définition :
Un produit scalaire hermitien φ sur E est une forme sesquilinéaire hermitienne définie positive, c’est-à-dire une application de E×E dans C telle que :
- φ est une forme sesquilinéaire hermitienne
- Pour tout x∈E, φ(x,x)≥0
- Pour tout x∈E, φ(x,x)=0⇒x=→0 (vecteur nul).
Définitions :
Un C-espace vectoriel E muni d’un produit scalaire est un espace préhilbertien complexe.
Si E est de dimension finie, E est appelé espace hermitien.
Notation usuelle du produit scalaire : φ=(⋅|⋅) ou <⋅,⋅>.
Exemples : Produit scalaire canonique sur Cn :
Pour x=(x1,…,xn) et y=(y1,…,yn), (x|y)=n∑k=1¯xkyk
Produit scalaire sur C([a,b],C) : (f|g)=∫baˉf(t)g(t)dt.
Dans ce qui suit, E désigne un espace préhilbertien complexe, muni du produit scalaire (⋅|⋅).
Définition :
En posant : pour tout x∈E, ‖, on définit une norme sur appelée norme hermitienne.
C’est une norme car elle vérifie :
- Pour tout , (avec égalité si et seulement si )
- Pour tout , pour tout ,
- Pour tous , .
Remarque : est unitaire si .
Théorème : Inégalité de Cauchy-Schwarz
Pour tout ,
Il y a égalité si et seulement si et sont colinéaires.
Remarque : désigne le module.
Théorème : Inégalité triangulaire
Pour tous , avec égalité si et seulement s’il existe tel que ou ( et sont dits positivement liés).
Propriétés : Identités de polarisation
Soit .