Séries de Fourier

Notation : On note $\rm L^1([0~ ; ~2\pi])$ les fonctions localement intégrables, $2\pi$-périodiques et $\rm L^2([0~ ; 2\pi])$ les fonctions de carré intégrable, $2\pi$-périodiques.

Définition : Soit $f$ fonction de $\mathbb R$ dans $\mathbb C$, appartenant à $\rm L^1([0~ ;~ 2\pi])$.

Pour tout $\rm n\in\mathbb Z$, on définit le coefficient de Fourier (exponentiel) de $f$ par : $\displaystyle \mathrm{c_n}(f)=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}f\rm (t)e^{-int}dt$.

Pour tout $\rm n\in\mathbb N$, on définit les coefficients de Fourier (trigonométriques) de $f$ par : $\displaystyle \mathrm{a_n}(f)=\frac{1}{\pi}\int_0^{2\pi}f\rm (t)\cos(nt)dt$
$\displaystyle \mathrm{b_n}(f)=\frac{1}{\pi}\int_0^{2\pi}f\rm (t)\sin(nt)dt$.

Propriétés : Soit $f$ fonction de $\mathbb R$ dans $\mathbb C$, appartenant à $\rm L^1([0 ~; ~2\pi])$.

Pour tout $\rm n\in\mathbb N$, $\rm a_n=c_n+c_{-n}$.

Pour tout $\rm n\in\mathbb N^*$, $\rm b_n=i(c_n-c_{-n})$.

Propriétés : Soit $f$ fonction de $\mathbb R$ dans $\mathbb C$, appartenant à $\rm L^1([0~ ;~ 2\pi])$.

Pour tout $\rm n\in\mathbb N$, $\mathrm{c_n}(\bar{f})=\overline{\mathrm{c_{-n}}(f)}$.

Pour tout $\rm n\in\mathbb N$, $\rm a_n(\bar{f})=\overline{a_{n}(\mathcal f)}$ et $\mathrm{b_n}(\bar{f})=\overline{\mathrm{b_{n}}(f)}$.

Propriété : Soit $f$ fonction de $\mathbb R$ dans $\mathbb C$, appartenant à $\rm L^1([0~ ;~ 2\pi])$. On suppose que $f$ est continue sur $\mathbb R$, de classe $\rm C^1$ par morceaux sur $\mathbb R$.

Alors $f’$ peut être prolongée en une application $2\pi$-périodique et continue par morceaux sur $\mathbb R$, notée encore $f’$. De plus, pour tout $\rm n\in\mathbb Z$, $\mathrm{c_n}(f’)=\mathrm{inc_n}(f)$.

Définition : Soit $f$ fonction de $\mathbb R$ dans $\mathbb C$, appartenant à $\rm L^1([0~ ;~ 2\pi])$. 

La série de Fourier de $f$ est la série $\mathrm{S_F}(f)=\displaystyle \sum_{\rm n\geq 0} u_{\rm n}(f)$ avec $u_0(f) \rm (t)=c_0(\mathcal f)$ et pour tout $\rm n \in\mathbb N^*$, $u_{\rm n}(f)$ est définie sur $\mathbb R$ par $u_{\rm n}(f)(\rm t)=c_n(\mathcal f)e^{int}+c_{-n}(\mathcal f)e^{-int}$.

Remarque : pour tout $\rm p\in\mathbb N$, la $\rm p$-ième somme partielle de la série de Fourier de $f$ est l’application $\mathrm{S_p}(f):\mathbb R\to \mathbb C$ telle que pour tout $\rm t\in\mathbb R$ : $\mathrm{S_p}(f) \rm (t) = \displaystyle \rm \sum_{n=p}^{p}c_ne^{int}$  $\displaystyle \rm =\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{p}(a_n\cos(nt) + b_n\sin(nt))$.

Théorème : Si $f$ fonction de $\mathbb R$ dans $\mathbb C$ est $2\pi$-périodique, continue et de classe $\rm C^1$ par morceaux sur $\mathbb R$, alors la série de Fourier de $f$ converge normalement sur $\mathbb R$ et a pour somme $f$.

Théorème de Dirichlet : Soit $f$ fonction de $\mathbb R$ dans $\mathbb C$, appartenant à $\rm L^1([0~ ;~ 2\pi])$. Soit $x\in\mathbb R$. On suppose que $f(x+0)$, $f(x-0)$, $f_{\rm d}’(x+0)$ et $f_g’(x-0)$ existent.

Alors la série de Fourier converge au point $x$ et $\displaystyle \mathrm{S_F}(f)(x)=\frac{1}{2}[f(x+0)+f(x-0)]$.

Remarque : $\displaystyle f(x+0)=\lim_{\mathrm t\to x^+}\mathrm f(t)$
$f(x-0)=\lim_{\mathrm t\to x^-}f(\mathrm t)$
$\displaystyle f_{\rm d}’(x+0)=\lim_{h\to 0^+}\frac{f(x+h)-f(x+0)}{h}$
$\displaystyle f_g’(x-0)=\lim_{h\to 0^+}\frac{f(x-0)-f(x-h)}{h}$.

Théorème : Soit $f$ fonction de $\mathbb R$ dans $\mathbb C$ $2\pi$-périodique et continue. Soit $\rm t\in\mathbb R$. 

Si la série de Fourier de $f$ converge alors $\rm S_F(\mathcal f)(t)=\mathcal f(t)$.

Formule de Parseval : Soit $f$ appartenant à $L^2([0 ~;~ 2\pi])$.
$\displaystyle\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}|f(x)|^2 \mathrm dx=\sum_{\mathrm n\in\mathbb Z} |\mathrm{c_n}(f)|^2$.