On considère des fonctions à valeurs dans K=R ou C.
I et J représentent des intervalles de R.
Soit (un) suite de fonctions de I vers K.
Méthode 1 : Etudier la convergence de suites de fonctions
- Convergence simple :
Définition :
La suite de fonctions (un) converge simplement vers u:I→K si pour tout t∈I, un(t)→n→+∞u(t).
On dit que u est la limite simple de la suite (un) notée u=limn→+∞un.
Propriétés :
Si un converge simplement sur I vers u :
- Si chaque un est positive, alors u est positive.
- Si chaque un est croissante, alors u est croissante.
- Convergence uniforme :
Définition :
La suite de fonctions (un) converge uniformément vers u:I→K si pour tout ϵ>0, il existe N∈N tel que pour tout n∈N, n≥N, alors pour tout t∈I, |un(t)−u(t)|≤ϵ.
On dit que u est la limite uniforme de la suite (un).
Théorème :
La convergence uniforme entraîne la convergence simple.
Théorème :
Il y a équivalence entre
- un converge uniformément vers u.
- A partir d’un certain rang, les fonctions un−u sont bornées et ‖un−u‖∞→0.
Méthode 2 : Etudier la continuité et les limites
Théorème :
Si (un) converge uniformément vers u sur I et si chaque un est continue en a∈I, alors u est continue en a. Par conséquent, la limite uniforme d’une suite de fonctions continues est continue.
Théorème de la double limite :
Si (un) converge uniformément vers u sur I et si chaque un tend en a vers une limite finie ln alors (ln) converge et limt→alimn→+∞un(t)=limn→+∞limt→aun(t).
Méthode 3 : Etudier l’intégration et la dérivation
- Intégration de suites de fonctions sur un segment :
Théorème :
Soit (un) suite de fonctions continues définies sur I. Soit a∈I.
Si (un) converge uniformément sur tout segment de I vers une fonction u, alors pour tous n∈N et x∈I, (∫xaun(t)dt) converge vers ∫xau(t)dt.
- Dérivation de suites de fonctions :
Théorème :
Soit (un) suite de fonctions de classe C1 sur I.
Si (un) converge simplement sur I vers u et si (u′n) converge uniformément sur tout segment de I, alors (un) converge uniformément vers u sur tout segment de I, u est de classe C1 sur I et u′=limu′n.