On considère des fonctions à valeurs dans $\mathbb K=\mathbb R$ ou $\mathbb C$.
$\mathrm{I}$ et $\mathrm{J}$ représentent des intervalles de $\mathbb R$.
Soit $(u_{\rm n})$ suite de fonctions de $\rm I$ vers $\mathbb K$.

Méthode 1 : Etudier la convergence de suites de fonctions

Convergence simple :

Définition :

La suite de fonctions $(u_{\rm n})$ converge simplement vers $u : \rm I\to \mathbb K$ si pour tout $\mathrm{t\in I}$, $\displaystyle u_{\mathrm {n(t)}}\underset{\mathrm n\to +\infty}{\to}u\rm (t)$.

On dit que $u$ est la limite simple de la suite $(u_{\rm n})$ notée $u=\displaystyle\lim_{\mathrm n\to +\infty} u_{\mathrm n}$.

Propriétés :

Si $u_{\rm n}$ converge simplement sur $\mathrm{I}$ vers $u$ :

Si chaque $u_{\rm n}$ est positive, alors $u$ est positive.
Si chaque $u_{\rm n}$ est croissante, alors $u$ est croissante.

Convergence uniforme :

Définition :

La suite de fonctions $(u_{\rm n})$ converge uniformément vers $u : \rm I\to \mathbb K$ si pour tout $\epsilon > 0$, il existe $\rm N \in\mathbb N$ tel que pour tout $\mathrm{n \in \mathbb N}$, $\mathrm{n \geq N}$, alors pour tout $\mathrm{t \in I}$, $|u_{\mathrm{n(t)}}-u\rm (t)|\leq \epsilon$.
On dit que $\mathrm{u}$ est la limite uniforme de la suite $(u_{\rm n})$.

Théorème :

La convergence uniforme entraîne la convergence simple.

Théorème :

Il y a équivalence entre

$u_{\rm n}$ converge uniformément vers $u$.
A partir d’un certain rang, les fonctions $u_{\mathrm n}-u$ sont bornées et $\|u_{\mathrm n}-u\|_{\infty}\rightarrow 0$.

Méthode 2 : Etudier la continuité et les limites

Théorème :

Si $(u_{\rm n})$ converge uniformément vers $u$ sur $\mathrm{I}$ et si chaque $u_{\rm n}$ est continue en $\mathrm{a \in I}$, alors $u$ est continue en $\mathrm{a}$. Par conséquent, la limite uniforme d’une suite de fonctions continues est continue.

Théorème de la double limite :

Si $(u_{\rm n})$ converge uniformément vers $u$ sur $\mathrm{I}$ et si chaque $u_{\rm n}$ tend en $\mathrm{a}$ vers une limite finie $\mathrm{l_n}$ alors $\mathrm{(l_n)}$ converge et $\mathrm{\displaystyle\lim_{t\to a}\lim_{n\to +\infty}}u_\mathrm n(\mathrm t)= \displaystyle \lim_{\mathrm n\to +\infty}\lim_{\rm t\to a}u_{\rm n}(t)$.

Méthode 3 : Etudier l’intégration et la dérivation

Intégration de suites de fonctions sur un segment :

Théorème :

Soit $(u_{\rm n})$ suite de fonctions continues définies sur $\mathrm{I}$. Soit $\mathrm{a \in I}$.
Si $(u_{\rm n})$ converge uniformément sur tout segment de $\mathrm{I}$ vers une fonction $u$, alors pour tous $\mathrm{n\in\mathbb N}$ et $x\in \rm I$, $\displaystyle \left(\int_{\mathrm a}^x u_{\rm n}\rm (t)dt\right)$ converge vers $\displaystyle \int_{\mathrm a}^x u\rm (t)dt$.

Dérivation de suites de fonctions :

Théorème :

Soit $(u_{\rm n})$ suite de fonctions de classe $\mathrm{C^1}$ sur $\mathrm{I}$.
Si $(u_{\rm n})$ converge simplement sur $\mathrm{I}$ vers $u$ et si $(u_{\rm n}')$ converge uniformément sur tout segment de $\mathrm{I}$, alors $(u_{\rm n})$ converge uniformément vers $u$ sur tout segment de $\mathrm{I}$, $u$ est de classe $\mathrm{C^1}$ sur $\mathrm{I}$ et $u’=\lim u_{\rm n}'$.

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