On considère des fonctions à valeurs dans K=R ou C.
I et J représentent des intervalles de R.
Soit (un) suite de fonctions de I vers K.

Méthode 1 : Etudier la convergence de suites de fonctions

  • Convergence simple :

Définition :

La suite de fonctions (un) converge simplement vers u:IK si pour tout tI, un(t)n+u(t).

On dit que u est la limite simple de la suite (un) notée u=limn+un.

Propriétés :

Si un converge simplement sur I vers u :

  1. Si chaque un est positive, alors u est positive.
  2. Si chaque un est croissante, alors u est croissante.
  • Convergence uniforme :

Définition :

La suite de fonctions (un) converge uniformément vers u:IK si pour tout ϵ>0, il existe NN tel que pour tout nN, nN, alors pour tout tI, |un(t)u(t)|ϵ.
On dit que u est la limite uniforme de la suite (un).

Théorème :

La convergence uniforme entraîne la convergence simple.

Théorème :

Il y a équivalence entre

  1. un converge uniformément vers u.
  2. A partir d’un certain rang, les fonctions unu sont bornées et unu0.

Méthode 2 : Etudier la continuité et les limites

Théorème :

Si (un) converge uniformément vers u sur I et si chaque un est continue en aI, alors u est continue en a. Par conséquent, la limite uniforme d’une suite de fonctions continues est continue.

Théorème de la double limite :

Si (un) converge uniformément vers u sur I et si chaque un tend en a vers une limite finie ln alors (ln) converge et limtalimn+un(t)=limn+limtaun(t).

Méthode 3 : Etudier l’intégration et la dérivation

  • Intégration de suites de fonctions sur un segment :

Théorème :

Soit (un) suite de fonctions continues définies sur I. Soit aI.
Si (un) converge uniformément sur tout segment de I vers une fonction u, alors pour tous nN et xI, (xaun(t)dt) converge vers xau(t)dt.

  • Dérivation de suites de fonctions :

Théorème :

Soit (un) suite de fonctions de classe C1 sur I.
Si (un) converge simplement sur I vers u et si (un) converge uniformément sur tout segment de I, alors (un) converge uniformément vers u sur tout segment de I, u est de classe C1 sur I et u=limun.