Soit $\mathrm{E}$ un $\mathbb K$-espace vectoriel normé avec $\mathrm{\mathbb K=\mathbb R}$ ou $\mathrm{\mathbb C}$.

Méthode 1 : Montrer que $\bf{U}$ est un ouvert de $\bf{E}$

  • Utiliser la définition :

Une partie $\rm U$ de $\rm E$ est un ouvert de $\rm E$ si elle est voisinage de chacun de ses points c’est-à-dire : pour tout $\mathrm{a\in U}$, il existe $\alpha>0$ tel que $\mathrm{B(a,\alpha)\subset U}$.

Rappel :

$$\mathrm{B(a,\alpha)}=\{x\in \mathrm E/\|x-\rm a\|<\alpha\}$$

  • Reconnaître des ouverts connus :

    • $\emptyset$ et $\rm E$ sont des ouverts de $\rm E$
    • Si $\mathrm{E=\mathbb R}$, les intervalles ouverts sont des ouverts de $\mathrm{E}$
    • Dans $\mathbb R^2$, le produit cartésien de deux intervalles ouverts de $\mathbb R$ est un ouvert de $\mathbb R^2$
    • Une boule ouverte $\mathrm{B(a,\alpha)}$ est un ouvert

  • Utiliser les propriétés :

    • Une réunion (finie ou infinie) de parties ouvertes est une partie ouverte.
    • Une intersection finie de parties ouvertes est une partie ouverte.

Méthode 2 : Montrer que $\bf F$ est un fermé de $\bf E$

  • Utiliser la définition :

Une partie $\mathrm{F}$ de $\mathrm{E}$ est un fermé de $\mathrm{E}$ si son complémentaire est un ouvert.

  • Reconnaître des fermés connus :

    • $\emptyset$ et $\mathrm{E}$ sont des fermés de $\mathrm{E}$
    • Si $\mathrm{E=\mathbb R}$, les intervalles fermés sont des fermés de $\mathrm{E}$
    • Dans $\mathrm{\mathbb R^2}$, le produit cartésien de deux intervalles fermés de $\mathrm{\mathbb R}$ est un fermé de $\mathrm{\mathbb R^2}$
    • Une boule fermée $\mathrm B_f(\rm a,\alpha)$ est un fermé ($\mathrm B_f(\rm a,\alpha)$ $=\{x\in \mathrm E/\|x-\rm a\|\leq\alpha\})$
    • Une sphère est un fermé $(\mathrm{S(a,\alpha)}=\{x\in \mathrm E/\|x-\mathrm a\|=\alpha\})$

  • Utiliser les propriétés :

    • Une intersection (finie ou infinie) de parties fermées est une partie fermée.
    • Une réunion finie de parties fermées est une partie fermée.

  • Utiliser les suites :

Théorème :

Soit $\mathrm{F}$ partie de $\mathrm{E}$. Les propositions suivantes sont équivalentes :

    1. $\mathrm{F}$ est fermée
    2. Pour toute suite $(x_{\rm n})\in \mathrm F^{\mathbb N}$ telle que $x_{\rm n}\to \rm a$, alors $\mathrm{a\in F}$

On dit qu’une partie fermée contient les limites de ses suites convergentes.

Méthode 3 : Utiliser la continuité

Soit $f : \rm X\subset E\to F$.

Théorème :

Les propositions suivantes sont équivalentes :

    • $f$ est continue
    • L’image réciproque de chaque ouvert de $\mathrm{F}$ est un ouvert relatif à $\rm X$
    • L’image réciproque de chaque fermé de $\mathrm{F}$ est un fermé relatif à $\rm X$

Remarque :

Un ouvert relatif à $\mathrm{X}$ est un ensemble de la forme $\mathrm{U\cap X}$ avec $\mathrm{U}$ ouvert de $\mathrm{E}$. Un fermé relatif à $\mathrm{X}$ est un ensemble de la forme $\mathrm{F\cap X}$ avec $\mathrm{F}$ fermé de $\mathrm{E}$.

Théorème :

Soient $f, g : \rm E\to F$ continues.

Si $f$ et $g$ sont égales sur une partie $\mathrm{X}$ de $\mathrm{E}$ dense, alors $f=g$.

Remarque :

Une partie $\mathrm{X}$ de $\mathrm{E}$ est dense si $\mathrm{\bar{X}=E}$ avec $\mathrm{\bar{X}}$ l’adhérence de $\mathrm{X}$.