Soit E un K-espace vectoriel normé avec K=R ou C.

Méthode 1 : Montrer que U est un ouvert de E

  • Utiliser la définition :

Une partie U de E est un ouvert de E si elle est voisinage de chacun de ses points c’est-à-dire : pour tout a∈U, il existe α>0 tel que B(a,α)⊂U.

Rappel :

B(a,α)={x∈E/‖x−a‖<α}

  • Reconnaître des ouverts connus :

    • ∅ et E sont des ouverts de E
    • Si E=R, les intervalles ouverts sont des ouverts de E
    • Dans R2, le produit cartésien de deux intervalles ouverts de R est un ouvert de R2
    • Une boule ouverte B(a,α) est un ouvert

  • Utiliser les propriétés :

    • Une réunion (finie ou infinie) de parties ouvertes est une partie ouverte.
    • Une intersection finie de parties ouvertes est une partie ouverte.

Méthode 2 : Montrer que F est un fermé de E

  • Utiliser la définition :

Une partie F de E est un fermé de E si son complémentaire est un ouvert.

  • Reconnaître des fermés connus :

    • ∅ et E sont des fermés de E
    • Si E=R, les intervalles fermés sont des fermés de E
    • Dans R2, le produit cartésien de deux intervalles fermés de R est un fermé de R2
    • Une boule fermée Bf(a,α) est un fermé (Bf(a,α) ={x∈E/‖x−a‖≤α})
    • Une sphère est un fermé (S(a,α)={x∈E/‖x−a‖=α})

  • Utiliser les propriétés :

    • Une intersection (finie ou infinie) de parties fermées est une partie fermée.
    • Une réunion finie de parties fermées est une partie fermée.

  • Utiliser les suites :

Théorème :

Soit F partie de E. Les propositions suivantes sont équivalentes :

    1. F est fermée
    2. Pour toute suite (xn)∈FN telle que xn→a, alors a∈F

On dit qu’une partie fermée contient les limites de ses suites convergentes.

Méthode 3 : Utiliser la continuité

Soit f:X⊂E→F.

Théorème :

Les propositions suivantes sont équivalentes :

    • f est continue
    • L’image réciproque de chaque ouvert de F est un ouvert relatif à X
    • L’image réciproque de chaque fermé de F est un fermé relatif à X

Remarque :

Un ouvert relatif à X est un ensemble de la forme U∩X avec U ouvert de E. Un fermé relatif à X est un ensemble de la forme F∩X avec F fermé de E.

Théorème :

Soient f,g:E→F continues.

Si f et g sont égales sur une partie X de E dense, alors f=g.

Remarque :

Une partie X de E est dense si ˉX=E avec ˉX l’adhérence de X.