On considère des fonctions f définies sur R à valeurs dans C.
Définition : Soit f∈L1(R).
La transformée de Fourier de f est la fonction : ˆf:R→C définie par : ˆf(ω)=∫+∞−∞f(x)e−iωxdx.
Proposition : Soit f∈L1(R). Alors :
- ‖ˆf‖∞≤‖f‖1
- ˆf est uniformément continue.
- lim (lemme de Riemann-Lebesgue).
Remarque : .
Notations :
Propriétés : Soient , , . Soit .
.
Propriété : La transformée de Fourier d’une fonction paire est une fonction paire.
La transformée de Fourier d’une fonction impaire est une fonction impaire.
Théorème : Soit et . Alors :
pour tout où est continue.
Proposition (théorème de Plancherel) : Si , alors et .