On considère des fonctions f définies sur R à valeurs dans C.

Définition : Soit fL1(R).

La transformée de Fourier de f est la fonction : ˆf:RC définie par : ˆf(ω)=+f(x)eiωxdx.

Proposition : Soit fL1(R). Alors :

  • ˆff1
  • ˆf est uniformément continue.
  • limω+ˆf(ω)=0 (lemme de Riemann-Lebesgue).

Remarque : f=supxR|f(x)|.

Notations :

ˇf(x)=f(x)

ex0(x)=eixx0

τx0f(x)=f(xx0)

Dλu(x)=u(λx)

Propriétés : Soient f,gL1(R), α,βC, λR. Soit x0R.

^αf+βg=αˆf+βˆg

^τx0f=ex0ˆf

^ex0f=τx0ˆf

ˇˆf=ˆˇf

^Dλf=λDλ1ˆf

ˆfg=fˆg.

Propriété : La transformée de Fourier d’une fonction paire est une fonction paire.

La transformée de Fourier d’une fonction impaire est une fonction impaire.

Théorème : Soit fL1(R) et ˆfL1(R). Alors :

f(x)=12π+eixωˆf(ω)dω pour tout xRf est continue.

Proposition (théorème de Plancherel) : Si fL1L2, alors ˆfL2C0 et +|f(t)|2dt =12π+|ˆf(ω)|2dω.