On considère des fonctions f définies sur R à valeurs dans C.
Définition : Soit f∈L1(R).
La transformée de Fourier de f est la fonction : ˆf:R→C définie par : ˆf(ω)=∫+∞−∞f(x)e−iωxdx.
Proposition : Soit f∈L1(R). Alors :
- ‖ˆf‖∞≤‖f‖1
- ˆf est uniformément continue.
- limω→+∞ˆf(ω)=0 (lemme de Riemann-Lebesgue).
Remarque : ‖f‖∞=supx∈R|f(x)|.
Notations :
ˇf(x)=f(−x)
ex0(x)=e−ixx0
τx0f(x)=f(x−x0)
Dλu(x)=u(λx)
Propriétés : Soient f,g∈L1(R), α,β∈C, λ∈R∗. Soit x0∈R.
^αf+βg=αˆf+βˆg
^τx0f=ex0ˆf
^ex0f=τ−x0ˆf
ˇˆf=ˆˇf
^Dλf=λDλ−1ˆf
∫ˆfg=∫fˆg.
Propriété : La transformée de Fourier d’une fonction paire est une fonction paire.
La transformée de Fourier d’une fonction impaire est une fonction impaire.
Théorème : Soit f∈L1(R) et ˆf∈L1(R). Alors :
f(x)=12π∫+∞−∞eixωˆf(ω)dω pour tout x∈R où f est continue.
Proposition (théorème de Plancherel) : Si f∈L1∩L2, alors ˆf∈L2∩C0 et ∫+∞−∞|f(t)|2dt =12π∫+∞−∞|ˆf(ω)|2dω.