On considère des fonctions f définies sur R à valeurs dans C.

Définition : Soit fL1(R).

La transformée de Fourier de f est la fonction : ˆf:RC définie par : ˆf(ω)=+f(x)eiωxdx.

Proposition : Soit fL1(R). Alors :

  • ˆff1
  • ˆf est uniformément continue.
  • lim (lemme de Riemann-Lebesgue).

Remarque : .

Notations :

Propriétés : Soient , , . Soit .

.

Propriété : La transformée de Fourier d’une fonction paire est une fonction paire.

La transformée de Fourier d’une fonction impaire est une fonction impaire.

Théorème : Soit et . Alors :

pour tout est continue.

Proposition (théorème de Plancherel) : Si , alors et .