Variables aléatoires discrètes

Soit $(\Omega, \mathcal{A}, \rm P)$ un espace probabilisé.

Étudier une variable aléatoire discrète

Définition :

Soit $\rm E$ un ensemble.
Unevariable aléatoire discrètedéfinie sur $\Omega$ est une application $\rm X$ de $\Omega$ dans $\rm E$ telle que :

• $\rm X(\Omega)$ soit fini ou dénombrable
• Pour tout $x\in \rm X(\Omega)$, $\mathrm X^{-1}(\{x\})=\{w\in\Omega/\mathrm X(w)=x\} \in\mathcal{A}$.

Remarques :

Si $\rm E\subset \mathbb R$, on parle de variable aléatoire réelle.

L’événement $\mathrm X^{-1}(\{x\})$ peut se noter $\mathrm X=x$.

Définition :

Soit $\rm X:\Omega\to E$ variable aléatoire discrète.
La loi de $\rm X$ est l'application $\rm P_X : \mathcal{P}(X(\Omega))\to [0 ~;1]$ telle que pour tout $\rm A\in \mathcal{P}(X(\Omega))$, $\rm P_X(A)=P(X\in A)$ avec $\mathrm {(X\in A)}=\{w\in \Omega/ \mathrm X(w)\in A\}.$

La loi $\rm P_X$ définit une probabilité sur l'espace probabilisable $(\rm X(\Omega),\mathcal{P}(X(\Omega)))$.

Calculs d’espérance

Soient $\rm X,Y$ variables aléatoires réelles discrètes définies sur $(\Omega, \mathcal{A}, \rm P)$.

Définition :

$\rm X$ admet uneespérancesi la famille $(\mathrm{P(X}=x))_{x\in \rm X(\Omega)}$ est sommable.

$\mathrm{E(X)}=\displaystyle \sum_{x\in \mathrm X(\Omega)}x\mathrm{P(X}=x)$

Propriétés :

Si $\rm X$ et $\rm Y$ admettent des espérances :

• Si $\rm E(X)=0$, $\rm X$ est centrée.
• Pour tout $\alpha \in \mathbb R$, $\rm \alpha X$ et $\rm X+Y$ admettent une espérance :
  $\rm E(\alpha X)=\alpha E(X)$
  $\rm E(X+Y)=E(X)+E(Y)$
• Soit $\rm a\geq 0$, $\rm aP(X\geq a)\leq E(X)$ (inégalité de Markov).

Formule de transfert :

Soient $\rm X$ variable aléatoire discrète et $f$ fonction définie sur $\rm X(\Omega)$ à valeurs dans $\mathbb R$. Il y a équivalence entre les propositions suivantes :

• $f(\rm X)$ est d'espérance finie.
• La famille $(f(x)\mathrm{P(X}=x))$ est sommable.

Dans ce cas $\mathrm E(f(\mathrm X))=\displaystyle\sum_{x\in \mathrm X(\Omega)}f(x)\mathrm{P(X}=x)$.

Calculs de variance

Soient $\rm X,Y$ variables aléatoires réelles discrètes définies sur $(\Omega, \mathcal{A}, \rm P)$.

Définition :

$X$ admet un moment $\rm m_k$ d'ordre $\rm k\in\mathbb N$ si la variable $\rm X^k$ admet une espérance :

$\mathrm{m_k=E(X^k)}= \displaystyle\sum_{x\in \mathrm X(\Omega)}x^\mathrm k \mathrm{P(X}=x)$

Théorème :

Si la variable $\rm X$ admet un moment d'ordre $2$, $X$ admet une espérance.

Théorème :

Si les variables $\rm X$ et $\rm Y$ admettent chacune un moment d'ordre $2$, alors $\rm XY$ est d'espérance finie et $\rm E(XY)^2\leq E(X^2)E(Y^2)$.

Définition :

Si $\rm X$ admet un moment d'ordre $2$, la variance de $\rm X$ est $\rm V(X)=E((X-E(X))^2)$.
Son écart-type est $\displaystyle \rm \sigma(X)=\sqrt{V(X)}$.

Propriétés :

• Si $\rm X$ admet un moment d'ordre $2$, alors :
  $\rm V(X)=E(X^2)-E(X)^2$
  $\rm V(aX+b)=a^2V(X)$ pour tous $\rm a,b\in \mathbb R$
• Si $\rm V(X)=1$, $\rm X$ est dite variable réduite.

Utiliser des lois usuelles

• Loi uniforme

La variable aléatoire $\rm X$ suit une loi uniforme sur un ensemble fini $\rm E$ si :

• $\rm X(\Omega)=E$
• Pour tout $\rm X\in E$, $\mathrm{P(X}=x)=\frac{1}{\rm n}$ avec $\rm n=Card(E)$.

• Loi de Bernoulli

La variable aléatoire $\rm X$ suit une loi de Bernoulli de paramètre $\rm p$ (avec $\rm p\in ]0~ ;1[$) si :

• $\rm X(\Omega)=\{0 ~;1\}$
• $\rm P(X=0)=1-p$ et $\rm P(X=1)=p$

On note $\rm X\sim \mathcal{B}(p)$.
$\rm E(X)=p$ et $\rm V(X)=p(1-p)$.

• Loi binomiale

La variable aléatoire $\rm X$ suit une loi binomiale de paramètres $\rm n$ et $\rm p$ (avec $\rm n\in\mathbb N^*$ et $\rm p\in ]0 ~;1[$) si :

• • $\rm X(\Omega)=[|0,n|]$
  • Pour tout $\rm k\in [|0,n|]$, $\rm P(X=k)$ $=\Big(\begin{array}{ll}n\\k \end{array}\Big) p^k(1-p)^{n-k}$.

On note $\rm X\sim \mathcal{B}(n,p)$.
$\rm E(X)=np$ et $\rm V(X)=np(1-p)$.

• Loi de Poisson

La variable aléatoire $\rm X$ suit une loi de Poisson de paramètre $\lambda$ ($\lambda>0$) si $\rm X(\Omega)=\mathbb N$ et $\rm P(X=k)=\exp(-\lambda)\dfrac{\lambda^k}{k !}$.
On note $\rm X\sim \mathcal{P}(\lambda)$.
$\rm E(X)=\lambda$ et $\rm V(X)=\lambda$.

• Loi géométrique

La variable aléatoire $\rm X$ suit une loi géométrique de paramètre $\rm p$ ($\rm p\in ]0 ~;1[$) si :

• $\rm X(\Omega)=\mathbb N^*$
• $\rm P(X=k)=p(1-p)^{k-1}$

On note $\rm X\sim \mathcal{G}(p)$.
$\rm E(X)=\dfrac{1}{p}$ et $\rm V(X)=\dfrac{1-p}{p^2}$.