Le modèle linéaire simple

Le modèle linéaire simple est généralement représenté par l'équation suivante : $Y_{i} = \beta_{0} + \beta_{1} x_{i} + u_{i}$. La variable $Y_{i}$ représente la variable expliquée, également appelée variable dépendante ou prédite, tandis que la variable $x_{i}$ est la variable explicative, autrement appelée variable indépendante. Le terme $u_{i}$ correspond au terme d'erreur, étant donné que les relations en économie ne peuvent jamais être parfaites et ce, pour l'ensemble des agents considérés. Les coefficients $\beta_{0}$ et $\beta_{1}$ sont les paramètres qui seront estimés dans ce modèle. Un des objectifs de l'économétrie est justement de pouvoir connaître la valeur de ces coefficients (différents de zéro ? positif ou négatif? magnitude de l'effet ?).

Le modèle utilisé expliquant plus ou moins bien la réalité économique, on utilise un indicateur pour pouvoir quantifier leur pouvoir explicatif. Cet indicateur est connu sous le nom de coefficient de détermination et est noté $R^{2}$. Il se calcule de la manière suivante : $R^{2} = \displaystyle \frac{\sum_{i=1}^{N}(\widehat{Y_{i}}- \overline{Y})^{2}}{\sum_{i=1}^{N}(Y_{i}- \overline{Y})^{2}}$. Cela fournit un indicateur compris entre 0 et 1 : plus le $R^{2}$ est proche de 1, plus la capacité explicative du modèle est grande. Un $R^{2}$ égal à 1 signifie ainsi que le modèle explique 100\% de la variance de Y. Cette propriété se base sur l'équation d'analyse de la variance qui nous dit que "variance de Y = variance de $\widehat{Y}$ (expliquée par le modèle) + variance de $\widehat{u}$ (variance résiduelle)". Il faudra normalement apprendre la démonstration associée.